Bonjour
Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Merci
Anh Vu
[TS] a-b | a^n - b^n
9 messages
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Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:17
Anh Vu Tran a écrit
> Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
> que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
> Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
> a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Oui. Il suffit de développer le produit :
(a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
(je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
par miracle tout se simplifie.
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
> que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
> Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
> a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Oui. Il suffit de développer le produit :
(a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
(je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
par miracle tout se simplifie.
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:17
Pierre Capdevila wrote:
> Anh Vu Tran a écrit
>[color=green]
>>Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
>>que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
>>Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
>>a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
>
>
> Oui. Il suffit de développer le produit :
> (a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
>
> (je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
> par miracle tout se simplifie.[/color]
La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
d'abord la prouver. Il y a peut-être un truc tout simple parce que ce
n'est que la toute première question d'un exercice de spécialité.
Anh Vu
> Anh Vu Tran a écrit
>[color=green]
>>Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
>>que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
>>Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
>>a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
>
>
> Oui. Il suffit de développer le produit :
> (a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
>
> (je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
> par miracle tout se simplifie.[/color]
La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
d'abord la prouver. Il y a peut-être un truc tout simple parce que ce
n'est que la toute première question d'un exercice de spécialité.
Anh Vu
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:17
On Sun, 23 Nov 2003 14:21:54 +0100, Anh Vu Tran wrote:
> Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
> que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
> Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
> a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Un truc du genre « si a=b alors a^n=b^n » ne suffit pas ?
nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU
P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
> Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
> que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
> Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
> a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Un truc du genre « si a=b alors a^n=b^n » ne suffit pas ?
nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU
P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:17
Anh Vu Tran a écrit :
> Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
> que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
> Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
> a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Je vois pas pourquoi, et si il s'agit de le démontrer, il suffit
d'effectuer le produit à droite.
Mais sinon peut être que ceci te convient:
(a^n - b^n) est un polynome de degré n en a, une solution évidente est a
= b, donc il est divisble par a - b
Evidemment il faut supposer acquis le fait que pour un polynome P en X,
P(a) = 0 => P divisble par X-a... ce qui se fait par exemple en ayant vu
que a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i)) ;o)
Au cas où, voilà le développement du produit, pour vérifier que ça
marche bien qd mm
(a-b) * la somme = somme(i=0..n-1, a^(i+1).b^(n-1-i)) - somme(i=0..n-1,
a^i.b^(n-i)) = a^n + somme(i=0..n-2, a^(i+1).b^(n-1-i)) -
somme(i=1..n-1, a^i.b^(n-i)) - b^n = a^n + somme(j=1..n-1, a^j.b^(n-j))
- somme(i=1..n-1, a^i.b^(n-i)) - b^n = a^n - b^n
--
Nico.
> Est-ce que vous avez une démonstration *niveau TS spécialité maths*
> que (a-b) divise (a^n-b^n) quel que soit n dans IN ?
> Je ne pense pas qu'on ait le droit d'invoquer le fait que
> a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i))
Je vois pas pourquoi, et si il s'agit de le démontrer, il suffit
d'effectuer le produit à droite.
Mais sinon peut être que ceci te convient:
(a^n - b^n) est un polynome de degré n en a, une solution évidente est a
= b, donc il est divisble par a - b
Evidemment il faut supposer acquis le fait que pour un polynome P en X,
P(a) = 0 => P divisble par X-a... ce qui se fait par exemple en ayant vu
que a^n-b^n = (a-b).somme(i=0..n-1, a^i.b^(n-1-i)) ;o)
Au cas où, voilà le développement du produit, pour vérifier que ça
marche bien qd mm
(a-b) * la somme = somme(i=0..n-1, a^(i+1).b^(n-1-i)) - somme(i=0..n-1,
a^i.b^(n-i)) = a^n + somme(i=0..n-2, a^(i+1).b^(n-1-i)) -
somme(i=1..n-1, a^i.b^(n-i)) - b^n = a^n + somme(j=1..n-1, a^j.b^(n-j))
- somme(i=1..n-1, a^i.b^(n-i)) - b^n = a^n - b^n
--
Nico.
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:17
Anh Vu Tran a écrit[color=green]
> > Oui. Il suffit de développer le produit :
> > (a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
> >
> > (je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
> > par miracle tout se simplifie.
>
> La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
> Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
> d'abord la prouver.[/color]
Ce que j'ai fait n'est pas une preuve ? Je ne vois pas pourquoi. Il suffit
de développer le produit. C'est du niveau 3ème je pense.
Sinon, si peux aussi mettre en place un raisonnement par récurrence en
remarquant que :
a^n - b^n = (a - b) *a^(n-1) + b * [(a^(n-1) - b^(n-1)]
Le premier terme de la somme est divisible par (a - b) et le second l'est
selon la relation de récurrence.
Tu as raison , pourquoi faire simple s'il y a moyen de faire compliqué
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> > Oui. Il suffit de développer le produit :
> > (a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
> >
> > (je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
> > par miracle tout se simplifie.
>
> La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
> Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
> d'abord la prouver.[/color]
Ce que j'ai fait n'est pas une preuve ? Je ne vois pas pourquoi. Il suffit
de développer le produit. C'est du niveau 3ème je pense.
Sinon, si peux aussi mettre en place un raisonnement par récurrence en
remarquant que :
a^n - b^n = (a - b) *a^(n-1) + b * [(a^(n-1) - b^(n-1)]
Le premier terme de la somme est divisible par (a - b) et le second l'est
selon la relation de récurrence.
Tu as raison , pourquoi faire simple s'il y a moyen de faire compliqué
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:17
Pierre Capdevila wrote:
> Anh Vu Tran a écrit
>[color=green][color=darkred]
>>>Oui. Il suffit de développer le produit :
>>>(a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
>>>
>>>(je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
>>>par miracle tout se simplifie.
>>
>>La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
>>Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
>>d'abord la prouver.[/color]
>
>
> Ce que j'ai fait n'est pas une preuve ? Je ne vois pas pourquoi. Il suffit
> de développer le produit. C'est du niveau 3ème je pense.
>
> Sinon, si peux aussi mettre en place un raisonnement par récurrence en
> remarquant que :
>
> a^n - b^n = (a - b) *a^(n-1) + b * [(a^(n-1) - b^(n-1)]
>
> Le premier terme de la somme est divisible par (a - b) et le second l'est
> selon la relation de récurrence.[/color]
Ok, tout à fait d'accord.
> Tu as raison , pourquoi faire simple s'il y a moyen de faire compliqué
Hehe
Maintenant, nouvelle question : est-ce que tu crois qu'un élève de
TS peut balancer une expression comme ça pour démontrer l'assertion
donnée dans le titre sans aucune indication ?
Anh Vu
> Anh Vu Tran a écrit
>[color=green][color=darkred]
>>>Oui. Il suffit de développer le produit :
>>>(a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
>>>
>>>(je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
>>>par miracle tout se simplifie.
>>
>>La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
>>Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
>>d'abord la prouver.[/color]
>
>
> Ce que j'ai fait n'est pas une preuve ? Je ne vois pas pourquoi. Il suffit
> de développer le produit. C'est du niveau 3ème je pense.
>
> Sinon, si peux aussi mettre en place un raisonnement par récurrence en
> remarquant que :
>
> a^n - b^n = (a - b) *a^(n-1) + b * [(a^(n-1) - b^(n-1)]
>
> Le premier terme de la somme est divisible par (a - b) et le second l'est
> selon la relation de récurrence.[/color]
Ok, tout à fait d'accord.
> Tu as raison , pourquoi faire simple s'il y a moyen de faire compliqué
Hehe
Maintenant, nouvelle question : est-ce que tu crois qu'un élève de
TS peut balancer une expression comme ça pour démontrer l'assertion
donnée dans le titre sans aucune indication ?
Anh Vu
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:18
"Pierre Capdevila" a écrit :
> Anh Vu Tran a écrit[color=green][color=darkred]
>> > Oui. Il suffit de développer le produit :
>> > (a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
>> >
>> > (je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
>> > par miracle tout se simplifie.
>>
>> La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
>> Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
>> d'abord la prouver.[/color]
>
> Ce que j'ai fait n'est pas une preuve ? Je ne vois pas pourquoi. Il suffit
> de développer le produit. C'est du niveau 3ème je pense.
>
> Sinon, si peux aussi mettre en place un raisonnement par récurrence en
> remarquant que :[/color]
on peut supposer a-b > 1
On a (a-b)|(a^n-^n) a^n congru à b^n modulo (a-b)
récurrence :
comme a^n congru à b^n et a congru à b alors a^(n+1) congru à b^(n+1)
--
Amicalement, Phil Pham
> Anh Vu Tran a écrit[color=green][color=darkred]
>> > Oui. Il suffit de développer le produit :
>> > (a - b) * (a³ + a²b + ab² + b³)
>> >
>> > (je me suis limité à n = 4 pour plus de lisibilité) et comme
>> > par miracle tout se simplifie.
>>
>> La question était de montrer que a-b | a^n-b^n pour tout n entier naturel.
>> Je pense que si on veut utiliser la décomposition de a^n-b^n, il faudrait
>> d'abord la prouver.[/color]
>
> Ce que j'ai fait n'est pas une preuve ? Je ne vois pas pourquoi. Il suffit
> de développer le produit. C'est du niveau 3ème je pense.
>
> Sinon, si peux aussi mettre en place un raisonnement par récurrence en
> remarquant que :[/color]
on peut supposer a-b > 1
On a (a-b)|(a^n-^n) a^n congru à b^n modulo (a-b)
récurrence :
comme a^n congru à b^n et a congru à b alors a^(n+1) congru à b^(n+1)
--
Amicalement, Phil Pham
Re: [TS] a-b | a^n - b^n
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:18
phil pham wrote:
> on peut supposer a-b > 1
>
> On a (a-b)|(a^n-^n) a^n congru à b^n modulo (a-b)
>
> récurrence :
>
> comme a^n congru à b^n et a congru à b alors a^(n+1) congru à b^(n+1)
Joli, court et efficace
Merci,
Anh Vu
> on peut supposer a-b > 1
>
> On a (a-b)|(a^n-^n) a^n congru à b^n modulo (a-b)
>
> récurrence :
>
> comme a^n congru à b^n et a congru à b alors a^(n+1) congru à b^(n+1)
Joli, court et efficace
Merci,
Anh Vu
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