Dm

[lasute]

Bonjour, j'aurais souhaité obtenir un peu d'aide pour un exercice dans lequel je bloque.


Exercice:

On considère la fonction f définie par f(x)=x²-x-2/x+2
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).
1ère partie :
1) Préciser l’ensemble de définition Df de la fonction f.
2) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de Df. En déduire l’existence d’une asymptote verticale dont on précisera une équation.
3) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x appartenant à Df, f(x)=ax+b+(c/x+2).
4) Montrer que la courbe Cf admet une asymptote Delta (le signe) dont on précisera une équation.
5) Etudier la position relative de Cf et de delta.
6) Tracer les asymptotes puis, à l’aide de la calculatrice, l’allure de la courbe Cf.
2ème partie :
On considère la fonction g définie sur R par g(x)=x²+x-1.
1) Résoudre l’inéquation f(x)-g(x)>0 (supérieur ou égal à zéro).
2) Que peut on en déduire pour les courbes Cf et Cg des fonctions f et g ?

Voici les réponses que j'ai trouvé jusqu'au moment où je bloque:
1)f est définie si et seulement si x+2 est différent de 0
D'ou f est définie sur Df=]-infini;-2[U]-2;+infini[

2)Limite en +infini et en -infini:
lim x (pour x tend vers +infini)=+infini
lim(1-1/x-2/x²) (pour x=>+infini)=1 d'où lim [x(1-1/x-2/x²)] (pour x=>+infini) =+infini
lim (1+2/x) (pour x=>+infini)=1

D'où lim f(x) (pour x=>+infini)=+infini
De même lim f(x) (pour x=>-infini)=-infini

Limite en -2:
lim (x²-x-2) (pour x=>-2) =4
lim (x+2) (pour x=>-2 et x>-2)=+0 d'où lim f(x) (pour x=>-2 et x>-2) =+infini
lim (x+2) (pour x=>-2 et x<-2)=-0 d'où lim f(x) (pour x=>-2 et x<-2)=-infini

Donc la droite d'équation x=-2 est asymptote verticale à Cf.*

3) Je cherche les réels a, b et c tels que: f(x)=ax+b+(c/x+2)
D'où x²-x-2/x+2=ax+b+(c/x+2)
x²-x-2/x+2=ax(x+2) +b(x+2) +c/x+2
x²-x-2/x+2=ax²+2ax+bx+2b+c/x+2
x²-x-2/x+2ax²+x(2a+b)+2b+c/x+2

Pour tout réel x différent de -2
x²-x-2=ax²+x(2a+b)+2b+c

Or deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degrés sont égaux.

D'où a=1
2a+b=-1
2b+c=-2

c'est à dire
a=1b=-3 et c=4
Donc f(x)=x-3+(4/x+2)

4)f(x)-(x-3)=4/x+2
lim [f(x)-(x-3)] (pour x=>+infini)=lim 4/x+2 (pour x=>+infini)=0
lim [f(x)-(x-3)] (pour x=>-infini)=lim 4/x+2 (pour x=>-infini)=0

Donc la droite delta d'équation y=x-3 est asymptote à la courbe Cf au voisinage de +infini et de -infini.

5)f(x)-(x-3)=4/x+2
Or 4>0, donc f(x)-(x-3) est du signe de x+2
D'où f(x)-(x-3)<0 c'est à dire f(x)f(x)-(x-3)>0 c'est à dire f(x)>x-3 si x>-2

Est ce que la réponse 5 est bonne ou pas?
Et c'est à la partie 2 que je bloque.

Quelqu'un peut il m'aider?
merci d'avance

[girdav]

Bonjour.
Je n'ai pas vérifié les calculs mais le raisonnement est correct.
Pour la partie 2, calcule dans un premier temps en l'écrivant sous une forme qui permet d'étudier le signe.

[lasute]

g(x)=x²+x-1
1) f(x)-g(x)>0
x-3+(4/x+2)-(x²+x-1)>0
(-x^3-2x²-2x)/x+2>0
est ce que le calcul est bon ?
Par contre si c'est bon je ne vois pas comment faire après.

[girdav]

Je trouve la même chose. C'est parti pour un tableau de signe!

[lasute]

mais comment faire pour -x^3-2x²-2x? dans le tableau pour x+2 ça me donne -2 mais pour -x^3-2x²-2x je vois pas enfin j'ai jamais calculé avec x^3 ou plutôt je ne vois pas comment le faire

[girdav]

Factorise donc par , tu y verra plus clair.

[lasute]

(-x^3-2x²-2x)/x+2>0
-x(x²+2x+2)/x+2>0
pour -x on a x=0
pour x+2 on a x=-2
Par contre pour x²+2x+2 le discriminant est inférieur à 0 donc x²+2x+2 n'a pas de solution.
donc comment faire?

[girdav]

Ben est strictement positif donc il ne vas pas nous déranger longtemps dans l'étude de signe.

[lasute]

Et on a pas besoin de le démontrer, enfin de montrer qu'il est strictement positif?
Et donc l'ensemble des solutions seraient [-2;0]?

[girdav]

Je crois que c'est plutôt privé de presque cette intervalle (on ne peut pas prendre ).

[lasute]

Pourquoi c'est R privé de ]-2;0] puisque c'est négatif sur ]-infini;-2[ et sur [0;+infini[ et que c'est positif sur ]-2;0]?
Pourquoi on parle de R privé de quelque chose?

[girdav]

Oups exact, il suffit juste de retirer la valeur . J'aurais mieux fait de tracer le tableau de signe avant de dire des âneries.

[lasute]

Donc ce que j'ai mis est bon?
Merci pour ton aide

[girdav]

Donc ce que j'ai mis est bon?
Merci pour ton aide

Oui, donc tu devrais pouvoir conclure sans difficultés quant aux positions relatives des deux courbes.

[lasute]

Ben cette question je vais pas pouvoir la faire ma calculatrice est cassée
Merci et bonne soirée

[girdav]

Pas besoin de calculatrice, il suffit de savoir que la courbe de est au-dessus de celle de si .

[lasute]

Oui mais je ne vois pas ce qu'il faut en déduire? que Cf est au dessus de Cg?

[girdav]

Oui, c'est juste ça les positions relatives.

[lasute]

A d'accord
Merci encore