Dl

[J-R]

bonsoir,

je cherhce à apprendre les bases du DL :

je suis tombé sur ca:

Soit n un entier. Soit f une fonction de dans , définie sur un intervalle ouvert I contenant un point a , dérivable n-1 fois sur I , et dont la dérivée n -ième en a existe. On appelle polynôme de Taylor d'ordre n en a de f , le polynôme :

ca c'est une définition donc ya pas à discuter. Cependant pourquoi cette formule ?

Soient I un intervalle ouvert, a un point de I et n un entier. On dit que f admet un développement limité d'ordre n en a lorsqu'il existe un polynôme tel que le reste soit négligeable devant .

ca c'est une conséquence de la dénition du haut ... Est ce que ca se démontre ?

[Nightmare]

Salut,

en fait cette formule découle du simple résultat :
. Tu vas me dire que le rapprochement est dûr à faire, mais en fait ce dernier résultat nous donne un résultat puissant qui est le théorème de Taylor-Laplace (Taylor avec reste intégrale) dont un corrolaire est le théorème de Taylor-Young, celui que tu as énoncé. (La démo est un peu longue mais pas dure).

La conséquence que tu as énoncée ensuite est en fait la définition même d'un développement limité, le théorème de Taylor-Young est une méthode pour trouver ces DL.

[Nightmare]

En fait on pense à tort que les DL concernent seulement les fonctions dérivables, comme le suggère le théorème de Taylor-Young. En réalité, et la définition que tu donnes le prouve, on peut trouver le DL sans que la fonction soit dérivable.

[chan79]

Bonjour
Ca peut servir à lever une indétermination:

cherche la limite de (tan(x)-x)/x² quand x tend vers 0
tan(x)= x + x^3/3 + 2*x^5/15 + 17*x^7/315 +...

[J-R]

salut Nightmare,

si je reste dans le simple, j'ai entendu parler de ce Taylor Young mais je n'ai vu que des dévellopement limite d'une fonction en a d'ordre 1.

f(x)=f'(x)(x-a)+f(a)+ (x-a)h(x) où h(x) tend vers 0 en a

en fait je ne sais pas encore à quoi sa sert ? (si à faire des approx....)

un DL d'ordre 2 serait quoi ?

où les utilise t-on?

merci

sinon si vous avez un cours pas de prépa mais où ca aborde de facon basique les notions ....

[bitonio]

Le DL sert principalement (comme dit au dessus) à calculer très simplement des limites quand on a des indeterminations.

par exemple sin(x)/x en 0
o(x) est un terme négligeable devant x, et o(1) est un terme qui tend vers 0...

Si tu appliques la fomule de Taylor Young, tu devrais trouver que le DL de sin en 0 est x-x^3/6+...


On pensera aussi en physique. Si tu écris l'equation du pendule, tu trouves , equation que l'on sait pas résoudre. En faisait l'hypothèse des petits angles, on fait un DL de sin en 0 et on trouve sin(x) environ égal à x . On sait alors résoudre l'equation du pendule dans le cas de mouvement de petite amplitude

Reste à comprendre la notion de négligeabilité...


Un cours très bien mais difficilement abordable au lycée (implique quelques connaissances de base de logique et de topologie...)

http://www.les-mathematiques.net/a/d/b/node1.php3

[J-R]

ok merci à vous tous :)

j'ai eu ce qu'il fallait merci bitonio

a+