[TermS][Arithmétique]

[Anonyme]

Je rencontre un petit problème dans un DM :

Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?

Merci

[Anonyme]

oui
si je le veux
Bon courage

"HG" a écrit dans le message de news:
4200e063$0$520$626a14ce@news.free.fr...
> Je rencontre un petit problème dans un DM :
>
> Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?
>
> Merci
>
>

[Anonyme]

On Wed, 2 Feb 2005 15:10:56 +0100, "HG"
wrote:

>Je rencontre un petit problème dans un DM :
>
>Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?
>
>Merci
>
pgcd veut dire bien sûr plus grand (au sens usuel) commun diviseur
mais souvent plus utile
les diviseurs communs à 2 nombres sont les diviseurs de leur pgcd
ici D=pgcd (a,b) divise a et b donc divise a+b et ab donc
divise PGCd(a+b,ab)

autre ex
si a|a' et b|b' alors pgcd(a,b)|pgcd(a',b')
*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Alain Pichereau a écrit:
> On Wed, 2 Feb 2005 15:10:56 +0100, "HG"
> wrote:
>
>[color=green]
>>Je rencontre un petit problème dans un DM :
>>
>>Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?
>>
>>Merci
>>
>
> pgcd veut dire bien sûr plus grand (au sens usuel) commun diviseur
> mais souvent plus utile
> les diviseurs communs à 2 nombres sont les diviseurs de leur pgcd
> ici D=pgcd (a,b) divise a et b donc divise a+b et ab donc
> divise PGCd(a+b,ab)[/color]
Pas d'accodac ! qu'est ce qui permet de dire que tous les diviseurs se
divisent entre eux ? on sait que PGCD(a,b) EST UN diviseur de a+b et de
ab, masis pourquoi seraitce un diviseur du plus grand ? (je te rappelles
que aRb a|b est un ordre NON TOTAL.

> autre ex
> si a|a' et b|b' alors pgcd(a,b)|pgcd(a',b')
> *****************
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
> *****************

[Anonyme]

Paul Delannoy a écrit:
> Alain Pichereau a écrit:
[color=green][color=darkred]
>>> Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?[/color][/color]
[color=green]
>> pgcd veut dire bien sûr plus grand (au sens usuel) commun diviseur
>> mais souvent plus utile
>> les diviseurs communs à 2 nombres sont les diviseurs de leur pgcd
>> ici D=pgcd (a,b) divise a et b donc divise a+b et ab donc divise
>> PGCd(a+b,ab)
>
> Pas d'accodac ! qu'est ce qui permet de dire que tous les diviseurs se
> divisent entre eux ? on sait que PGCD(a,b) EST UN diviseur de a+b et de
> ab, masis pourquoi seraitce un diviseur du plus grand ? (je te rappelles
> que aRb a|b est un ordre NON TOTAL.[/color]

Tout diviseur de x et de y divise pgcd(x,y).

--
albert

[Anonyme]

On Wed, 02 Feb 2005 18:03:05 +0100, Paul Delannoy
wrote:

>Alain Pichereau a écrit:[color=green]
>> On Wed, 2 Feb 2005 15:10:56 +0100, "HG"
>> wrote:
>>
>>[color=darkred]
>>>Je rencontre un petit problème dans un DM :
>>>
>>>Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?
>>>
>>>Merci
>>>
>>
>> pgcd veut dire bien sûr plus grand (au sens usuel) commun diviseur
>> mais souvent plus utile
>> les diviseurs communs à 2 nombres sont les diviseurs de leur pgcd
>> ici D=pgcd (a,b) divise a et b donc divise a+b et ab donc
>> divise PGCd(a+b,ab)[/color]
>Pas d'accodac ! qu'est ce qui permet de dire que tous les diviseurs se
>divisent entre eux ?[/color]
??? j'avoue ne pas comprendre
>on sait que PGCD(a,b) EST UN diviseur de a+b et de
>ab, masis pourquoi seraitce un diviseur du plus grand ?
je te rappelle que c'est un
résultat de cours de TS , trivial à vérifier via la déc en nb 1er

> (je te rappelles
>que aRb a|b est un ordre NON TOTAL.
[color=green]
>> autre ex
>> si a|a' et b|b' alors pgcd(a,b)|pgcd(a',b')
>> *****************
>> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
>> ( olympiades mathématiques 1ère S )
>> *****************
>[/color]

[Anonyme]

albert junior a écrit:
> Paul Delannoy a écrit:
>[color=green]
>> Alain Pichereau a écrit:
>
>[color=darkred]
>>>> Pourriez vous me démontrer que : PGCD(a;b) divise PGCD(a+b;ab) ?
>>>[/color]
>[color=darkred]
>>> pgcd veut dire bien sûr plus grand (au sens usuel) commun diviseur
>>> mais souvent plus utile
>>> les diviseurs communs à 2 nombres sont les diviseurs de leur pgcd
>>> ici D=pgcd (a,b) divise a et b donc divise a+b et ab donc divise
>>> PGCd(a+b,ab)
>>
>>
>> Pas d'accodac ! qu'est ce qui permet de dire que tous les diviseurs se
>> divisent entre eux ? on sait que PGCD(a,b) EST UN diviseur de a+b et
>> de ab, masis pourquoi seraitce un diviseur du plus grand ? (je te
>> rappelles que aRb a|b est un ordre NON TOTAL.[/color]
>
>
> Tout diviseur de x et de y divise pgcd(x,y)[/color]
Encore faut il au moins le dire sinon le démontrer ?

[Anonyme]

Paul Delannoy a écrit:

>
> Encore faut il au moins le dire sinon le démontrer ?

Certes, mais c'est sans doute un résultat de cours.

(Soit d le pgcd de a et de b.Par le théorème de Beuzout il existe (u,v)
dans Z^2 tel que u*a+v*b = d. Alors x divisant a et b divise d.)

--
albert

[Anonyme]

> Pas d'accodac ! qu'est ce qui permet de dire que tous les diviseurs se
> divisent entre eux ? on sait que PGCD(a,b) EST UN diviseur de a+b et de
> ab, masis pourquoi seraitce un diviseur du plus grand ? (je te rappelles
> que aRb a|b est un ordre NON TOTAL.

N'empêche qu'il est "le" plus grand au sens du préordre (divise).

--
Mû

[Anonyme]

Je suis désolé pour toute la polémique que j'ai créée, j'ai en fait trouvé
la réponse en la posant.

j'aurai en fait dû vous expliquer le contexte :

Le but était de montrer que pgcd(a+b;ab)=p² <==> pgcd(a;b)=p
ou
pgcd (a;b)=p²

p étant premier et a et b étant des entiers

maintenant c'est beaucoup plus simple.


Merci quand meme


J'essayerai d'éviter cela à l'avenir !

[Anonyme]

HG a écrit:
> Je suis désolé pour toute la polémique que j'ai créée, j'ai en fait trouvé
> la réponse en la posant.

Je ne crois pas qu'il y ait eu 'polémique' ; juste un désaccord sur ce
qui était supposé connu et ce qui ne l'était pas. Ta précision sur le
contexte aurait pu en effet éclairer la question. Mais bof... content de
voir que tu as trouvé ce qu'il te fallait !

[Anonyme]

"HG" a écrit dans le message de news:
4201234b$0$962$626a14ce@news.free.fr...
> Je suis désolé pour toute la polémique que j'ai créée, j'ai en fait trouvé
> la réponse en la posant.
>
> j'aurai en fait dû vous expliquer le contexte :
>
> Le but était de montrer que pgcd(a+b;ab)=p² pgcd(a;b)=p
>
ou
> pgcd (a;b)=p²
>
> p étant premier et a et b étant des entiers
>
> maintenant c'est beaucoup plus simple.

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette formulation : pgcd(a+b;ab)=p²
pgcd(a;b)=p
si pgcd(a;b)=p
a=p*a1 et b=p*b1
a1 et b1 étant premiers entre eux
a+b=p(a1+b1)
a*b=p^2*a1*b1
on en déduit que pgcd(a+b;a*b)=p*pgcd(a1+b1;p*a1*b1)
pgcd(a+b;ab) divise donc p
cqfd
par contre dire que pgcd(a+b;ab)=p²
induit que p divise pgcd(a1+b1;p*a1*b1)
donc que p divise a1+b1
c'est impossible puisque a1 et b1 sont premiers entre eux

exemple :
pgcd(4;6)=2
pgcd(10:24)=2 et non 4