An+bm=1...

[letudian]

Bonsoir,

encore un problème en spé maths! le corrigé de mon livre est trop rapide je pense ... voici mon problème:

"m et n sont 2 entiers premiers entre eux. question: montrer que m+n et mn sont premiers entre eux."

correction: "Soit a et b 2 entiers tels que an+bm=1, un calcul immédiat montre que:
((a-b)^2)mn+(ab(m+n))(m+n)=1"

Comment trouve-t-on un tel calcul? (j'ai essayé en développant etc..)
merci d'avance!

[maturin]

alors si tu développes la solution du corrigé:
(a-b)²mn+ab(m+n)²=a²mn+b²mn+abm²+abn²=(am+bn)(bm+an)
ce qui n'est pas égal à 1...

Donc pour refaire proprement :
an+bm=1
=> (an+bm)²=1
=> a²n²+b²m²+2abmn=1

Or (m+n)(a²n+b²m)=a²n²+b²m²+a²mn+b²mn

=> 2abmn+[(m+n)(a²n+b²m)-(a²+b²)mn]=1
=>(2ab-a²-b²)mn+(a²n+b²m)(m+n)=1
=> -(a+b)²mn+(a²n+b²m)(m+n)=1
=> mn et (m+n) premiers entre eux