F

[yann06]

Bonjour

Déterminer la forme développée , la forme canonique et la forme factorisée du polynôme suivant :



1 ° ) la fonction est déjà sous forme développée

2 ° ) calcul de la forme canonique :

je mets 2 en facteur , ce qui donne :

qui est le début de développement de l'identité remarquable

et alors , dans ce cas , je peux dire

il reste à injecter cette relation dans f(x)
`



et j 'ai une forme canonique de la forme avec ; et

3 ° ) calcul de la forme factorisée



j 'appelle l'expression

et j'aurais

si la forme canonique est la différence de deux carres :
qui se factorise 'classiquement' en

n 'est pas une différence de 2 carrés donc le Polynôme n 'est pas factorisable ?
c 'est bien ça ?

[Tiruxa47]

[quote="yann06"]

il reste à injecter cette relation dans f(x)
`

/quote]
Bonjour
Deux étourderies à cette ligne, dans les parenthèses x n'est pas élevé au carré
et à la fin c'est -2 non pas +2

[Tiruxa47]

il reste à injecter cette relation dans f(x)
`

Bonjour
Deux étourderies à cette ligne, dans les parenthèses x n'est pas élevé au carré
et à la fin c'est -2 non pas +2

[pascal16]

si delta est positif, on a deux racines et la forme factorisée est :


avec x1 et x2 les deux racines

[yann06]

Ok

qui est la forme développée

je mets 2 en facteur
soit

ensuite

début de développement de







f(x) est de la forme avec ; et

la forme canonique est une différence de 2 carrés qui s 'écrit en un produit de 2 facteurs

si

je pose pour l'expression

soit

si alors on a la forme :

qui se factorise en



comme

[pascal16]

Apprendre et recopier des formules, c'est bien, aller plus vite avec le minimum de formule, c'est mieux

f(x)=2x²+2x-4


delta = 2²-4*2*(-4)=4+32=36


x1=(-2-6)/4=-2
x2=(-2+6)/4=1

soit f(x)=2(x-1)(x+2)

[Tiruxa47]

Attention 9/4 = (3/2)²
De plus, il faut fermer la deuxième parenthèse après le 9/4 soit a la fin de l'expression

[Tiruxa47]

Ce qui est très rapide aussi c'est de factoriser la forme canonique en utilisant la différence de carrés

[pascal16]

étape 1, mettre a en facteur
2x²+2x-4 = 2 (x²+x-2)

étape 2, on reconnait le début d'un carré (au passage, c'est la forme canonique déjà faite !)
= 2 ( (x+1/2)²-1/4 -2) = 2( (x+1/2)²-9/4)

on a bien un - au milieu, de la forme A²-B²=(A-B)(A+B)
=2( (x+1/2)²-(3/2)²)
= 2(x+1/2-3/2)(x+1/2+3/2)
=2(x-1)(x+2)

Avec moins de formules dans tous les sens, ça parait plus simple, non ?

[yann06]

Bonsoir Tiruxa

c 'est ce que j 'ai fait , j 'ai factoriser la forme canonique
la forme canonique est la différence de 2 carrés[quote="yann06"]Ok



comme



le premier facteur :

le deuxième facteur :

[Tiruxa47]

Mais non ce n'est pas un produit

Utilise a² - b² = (a-b)(a+b) comme Pascal l'a fait plus haut

[yann06]

Bonsoir Tiruxa


l
j 'ai bien utilisé

avec
et

le premier facteur c'est
et le deuxième facteur du produit c 'est

[nodgim]

Franchement, pour la factorisation, une simple recherche mentale des 2 racines donne la solution sans se casser la tête....
C'est ce qu'on appelle des racines évidentes.

[yann06]

Bonsoir Nogdim

justement , c'est mon problème , j'ai un mal fou à trouver ces racines évidentes
Peux tu m'expliquer ? s 'il te plait

[Lostounet]

Salut Yann,

Voici une astuce qui marche quel que soit le degré du polynôme qui a des racines entières.
Regardons par exemple le polynôme:

(X - 1)(X - 4)(X - 2)
Tu le développes, tu trouves:

Le (-8) que tu observes à droite, c'est en fait juste le produit de (-1)*(-4)(-2) = -8
Donc si on suit la démarche inverse, et que je te donne et que tu cherches à le factoriser, tu peux commencer par dire que 8 = 2*4, et que donc on peut tenter de voir si un des diviseurs de 8 est racine du polynôme. Bien entendu, tu peux regarder les diviseurs entiers relatifs de 8 (donc 2, 4 mais aussi -2 et -4, 1 et -1)

Donc en fait cela te permet ici rien qu'en regardant le terme final "-8" de "deviner" les racines.


Cela peut marcher aussi pour un polynôme du second degré: tu as P(x) = (x^2 + x - 2)

Observons le terme "-2" et listons ses diviseurs (entiers relatifs): 1, 2, -1 et -2
On constate que P(1) = 0 et que P(-2) = 0 donc (X - 1)(X + 2) est la factorisation du polynôme, tout simplement !


Il existe aussi une autre astuce pour les polynômes du second degré:
(X - a)(X - b) = X^2 - a*X - b*X + ab
= X^2 - (a + b)X + ab

Cela signifie que le coefficient devant "X" est en fait l'opposé de la somme des racines.
C'est aussi un moyen de trouver plus vite des racines évidentes pour un polynôme du 2nd degré.
Ici tu as x^2 + x - 2, et le coefficient devant "x" est "1", donc la somme des racines est -1, on a bien 1 - 2 = -1


Autre exemple: Trouver rapidement les racines évidentes de

1) La somme des racines est -1
2) Le produit des racines est -12, listons les diviseurs de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, 12, -12

On choisit parmi eux ceux dont la somme est -1: 3 - 4 = -1, donc les racines sont 3 et -4

en effet (x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12