IA² + IB² + IC² + ID² = . . . ?

[laetidom]

Bonjour @ tous,

Je viens vous solliciter aujourd'hui pour une confirmation dans le résultat de cet exercice de 1ère E (et oui, ça date un peu) :

" Deux cordes perpendiculaires AB et CD d'un cercle se coupent en I.
Calculer en fonction de R, rayon du cercle, la somme
(on pourra utiliser le point E diamétralement opposé à A) "

68.JPG (27.03 Kio) Vu 348 fois

Si je dis que CB = DE alors je trouve que la somme = 4R²

Est-ce juste ? Et surtout, comment fais-t 'on pour prouver que CB = DE ?

(ça m'échappe . . .)

Merci d'avance pour vos réponses !

[Ben314]

Salut,
Comme [AE] est un diamètre du cercle et que B est sur le cercle, le triangle ABE est rectangle en B donc (BE) est perpendiculaire à (BA) c'est à dire parallèle à (CD).
Ensuite, la médiatrice de [CD] est la droite passant par O (équidistant de C et de D) et perpendiculaire à (CD). Celle de [BE] passe aussi par O (équidistant de B et de E) est est perpendiculaire à (BE) donc à (CD). C'est donc la même droite .
Donc D et E sont les symétriques respectifs de C et B par la symétrie orthogonale d'axe ce qui montre que DE=CB.

Sinon, effectivement, on a bien IA²+IB²+IC²+ID²=4R² et il y a plusieurs façons (plus ou moins différentes) de le démontrer.

[laetidom]

Merci Ben pour cette démonstration !

ah je vois que tu as corrigé et complémenté, super !,

Merci encore !

[Ben314]

Oui, j'ai rectifié (et j'ai même rectifié juste avant que tu tape, donc ça se verra même pas.... )

Sinon, si ça t'intéresse, il y a un théorème (dont j'ai évidement oublié le nom...) qui donne une C.N.S. concernant les longueur des cotés et des diagonales d'un quadrilatère pour que ce dernier soit inscriptible (i.e. que les 4 points soient cocycliques) et je me demande si la (ou plutôt les) preuve(s) de ce théorème "n'engloberaient" pas plus ou moins le résultat présent.

[laetidom]

Oui, j'ai rectifié (et j'ai même rectifié juste avant que tu tape, donc ça se verra même pas.... )

Sinon, si ça t'intéresse, il y a un théorème (dont j'ai évidement oublié le nom...) qui donne une C.N.S. concernant les longueur des cotés et des diagonales d'un quadrilatère pour que ce dernier soit inscriptible (i.e. que les 4 points soient cocycliques) et je pense que la (ou plutôt les) preuve(s) de ce théorème doivent plus ou moins "englober" le résultat présent.

Merci Ben !, une CNS est une Condition . . . ? Ah oui, si tu as des éléments sur ce théorème que je puisse le rechercher sur le net, je suis preneur !

[Ben314]

Théorème de Ptolémée
Mais la preuve donnée par Wiki utilise quasi exclusivement le Th. de l'angle inscrit pour une des deux implication et les inversions pour la réciproque. Ce qui, dans les deux cas, fait que le rayon du cercle n'apparait pas dans la preuve.
Il y a surement d'autres preuves possibles mettant en jeu le rayon du cercle.
Mais il est évidement aussi possible que je raconte n'importe quoi et que ton truc n'ai quasiment rien à voir avec le Th. de Ptolémée, à part un énoncé vaguement semblable...

[laetidom]

Théorème de Ptolémée
Mais la preuve donnée par Wiki utilise quasi exclusivement le Th. de l'angle inscrit pour une des deux implication et les inversions pour la réciproque. Ce qui, dans les deux cas, fait que le rayon du cercle n'apparait pas dans la preuve.
Il y a surement d'autres preuves possibles mettant en jeu le rayon du cercle.
Mais il est évidement aussi possible que je raconte n'importe quoi et que ton truc n'ai quasiment rien à voir avec le Th. de Ptolémée, à part un énoncé vaguement semblable...

Merci en tous cas pour toutes ces précisions !, je vais creuser la question . . ., merci.