1-1+1-1+1...

par **titine** » 13 Juil 2006, 15:23

Bonjour,

La suite (un) telle que un = (-1)^0 + (-1)^1 + ... (-1)^n admet elle une limite ?

Je ne pense pas car elle prend pour valeurs successivement 1;0:1:0 ...
Comment le démontre t on rigoureusement ?
Merci.

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 15:29

soient

et

V et W ont la meme limite si U admet une limite

or on a

et

donc U n'admet pas de limite

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 15:32

on suppose que

admet une limite L
donc

et puisque

0 quelque soit n de IN
donc U n'admet pas de limite

par **nekros** » 13 Juil 2006, 15:40

Oui, il suffit d'utiliser les suites extraites et la propriété suivante : une suite

converge vers une limite L si et seulement si toute suite extraite de

converge vers L

Thomas G :zen:

par **Chimomo** » 13 Juil 2006, 15:52

ON peut aussi dire (mais je dit ca juste comme ça parceque ce n'est pas très naurel) que comme la suite (-1)^n ne tend pas vers 0 la série diverge grossièrement.

par **mathador** » 13 Juil 2006, 15:59

Bonjour

J'ai peur, cher Chimomo, que la notion de série ne dépasse le niveau Lycée !
Le premier post d'Aviateurpilot me semble simple et rigoureux ... je n'ai rien à y redire !

Amicalement

par **titine** » 13 Juil 2006, 16:04

Merci beaucoup.
C'est très clair.

par **Chimomo** » 13 Juil 2006, 16:50

C'est pour ca que j'ai dit que je disais ca à titre indicatif mais que ce n'était pas une méthode naturelle.

Je disais ça parceque c'est surement la méthode la plus rapide (et parfaitement rigoureuse au passage) mais en effet elle n'est pas du niveau terminale je le sait (quoique montrer que la suite de sommes partielles d'une série converge seulement si la suite tend vers 0 est totalement accessible en terminale).

par **mathador** » 13 Juil 2006, 16:59

Une autre méthode simple : c'est une suite de N, dire qu'elle a une limite équivaut à dire qu'elle est stationnaire ; ce qui n'est clairement pas le cas ici.

De toute façon, un bon "évident" suffit sur la copie, non ? :zen:

par **ROM_CAPES** » 17 Juil 2006, 12:26

vive les suites!!! :zen:

par **Chimomo** » 17 Juil 2006, 12:45

Pour ton exemple, il existe des sous-suite divergentes : (-1)^(n+1) par exemple.

D'ailleurs si toute suite extraite converge, la suite u(n+1) converge et il serait donc dommage que u(n) ne converge pas.

La propriété est bien une équivalence puisqu'il suffit d'enlever un terme à la suite pour obtenir une sous-suite qui sera donc convergente (et enlever un terme ne change pas la limite de la suite).

par **nekros** » 17 Juil 2006, 13:03

ROM_CAPES je ne suis pas d'accord avec toi.
C'est bien une relation d'équivalence.
Ici, on pouvait aussi utiliser le fait que la suite

converge vers

[B]si et seulement si[/TEX] les suites extraites

et

convergent vers

.

Thomas G :zen:

1-1+1-1+1...

1-1+1-1+1...

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