F(a+b)=f(a)+f(b)

[Quidam]

commencons par a,b ds N
...
ensuite il faut essayer de faire pour Z, Q et R

Très drôle ! Je te signale que titine l'a déjà fait pour N, Z, et Q. Tout la question est sur R !!!!

[Quidam]

Il y a une autre possibilité : que la continuité soit inutile!

Justement, c'est de cela que nous discutons ! Il me semble facile (enfin, je crois bien) de montrer que toute fonction continue vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x et pour tout y est de la forme f(x)=kx.

Donc, toute la discussion ci-dessus essaie de résoudre la question : est-ce que la continuité est nécessaire ? Est-ce que toute fonction, pas nécessairement continue, vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y), est forcément de la forme f(x)=kx ?

[cesar]

soit donc un element X de R, si l'on considere la suite de cauchy Xn qui converge vers R , alors on a:
lim(xn)=x si n tend vers l'infini
f(xn) = f(1)*xn

et lim f(xn)= f(lim(xn)=f(1)*lim(xn) lorsque n tend vers l'infini
soit f(x)=f(1)*x cela n'est evidement possible que si f est continue...

donc le seul contre exemple possible est :
- une fonction discontinue en R-Q

par exemple f(x)=k*x si x est dans Q
f(x)=0 si x n'est pas dans Q
f(a+b)= k*a + 0 = f(a)+f(b) si a dans Q et b dans R-Q

f(a+b)=0=f(a)+f(b) si a et b hors de Q

on a donc une fonction discontinue sur R et qui verifie f(a+b)=f(a)+f(b)

[Quidam]

il faut considerer les suites de cauchy sur Q. Les suites de Cauchy ne convergent pas toutes sur Q, mais l'ensemble des limites permet de definir R.

On s'intéresse au cas où la continuité de f n'est pas exigée. Sans la continuité, les suites de Cauchy ne te serviront à rien !

[cesar]

On s'intéresse au cas où la continuité de f n'est pas exigée. Sans la continuité, les suites de Cauchy ne te serviront à rien !

lire tout avant de crier !!!!

[yos]

Justement, c'est de cela que nous discutons ! Il me semble facile (enfin, je crois bien) de montrer que toute fonction continue vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x et pour tout y est de la forme f(x)=kx.

Donc, toute la discussion ci-dessus essaie de résoudre la question : est-ce que la continuité est nécessaire ? Est-ce que toute fonction, pas nécessairement continue, vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y), est forcément de la forme f(x)=kx ?

J'avais compris. Je répondais simplement à un quidam qui disait "je vais chercher un autre contre-exemple" sous-entendant par là son opinion sur la nécessité de la continuité.
On peut se contenter de bien plus faible.
Par exemple : si f est continue en 0 ça roule.
Encore plus faible : s'il existe un intervalle [a,b] avec a<b tel que f y soit bornée, ça roule encore.

Compte tenu de cette dernière condition suffisante, je te laisse imaginer la tête d'un contre-exemple.

[Quidam]

par exemple f(x)=k*x si x est dans Q
f(x)=0 si x n'est pas dans Q
f(a+b)= k*a + 0 = f(a)+f(b) si a dans Q et b dans R-Q

f(a+b)=0=f(a)+f(b) si a et b hors de Q

on a donc une fonction discontinue sur R et qui verifie f(a+b)=f(a)+f(b)

C'est quasiment la même chose que ce que j'avais proposé, à tort. Comme l'a très justement dit titine, ça ne marche pas car serait égal à 0 puisque l'un et l'autre seraient nul, alors que ! Donc différent de

[Quidam]

J'avais compris. Je répondais simplement à un quidam qui disait "je vais chercher un autre contre-exemple" sous-entendant par là son opinion sur la nécessité de la continuité.

OK ! Excuse-moi ! C'est vrai que je balance entre l'envie de chercher un contre exemple et l'envie de démontrer la propriété. A ce moment-là, je croyais encore au contre-exemple...

[Alpha]

Justement, c'est de cela que nous discutons ! Il me semble facile (enfin, je crois bien) de montrer que toute fonction continue vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x et pour tout y est de la forme f(x)=kx.

Juste une précision au cas où : si f est continue, le résultat est vraiment immédiat : tout réel est la limite d'une suite de rationnels, et le résultat obtenu sur Q permet de conclure pour R par passage à la limite en utilisant la continuité de f. Bien sûr on doit pouvoir faire des hypothèses plus faibles, mais il faudra faire attention, parmi les hypothèses plus faibles que l'on proposera par la suite, à ce qu'elles n'impliquent pas la continuité, afin qu'on puisse exhiber une fonction vérifiant ces hypothèses sans être continue.

Quand vous aurez fini d'examiner cet exercice, vous pourre chercher celui-ci, qui est exrêmement facile et suit en gros le même schéma que le précédent :

Déterminer les automorphismes de corps de R dans R.

Cordialement

[yos]

mais il faudra faire attention, parmi les hypothèses plus faibles que l'on proposera par la suite, à ce qu'elles n'impliquent pas la continuité,

Tu es tombé dedans! Si on trouve des hypothèses plus faibles, il est SÛR qu'elles entraîneront la continuité puisqu'elles entraînent beaucoup plus fort à savoir la linéarité (c'est l'objet de l'exercice).
Tout cela est bien vicieux n'est-il pas?

[Alpha]

C'est vrai, mais j'ai été induit en erreur par le fait que titine cherchait un contre-exemple : c'est pourquoi il est faux de dire que l'on cherche un contre-exemple, puisqu'il est évident qu'on ne peut en trouver. Pas facile d'y voir clair quand on lit des trucs qui se contredisent...

Merci pour ta réponse

[yos]

Ca y est je m'embrouille. C'est moi qui délire. Désolé alpha.
Si on appelle contre-exemple une fonction qui vérifie f(a+b)=f(a)+f(b) et qui n'est pas linéaire, alors on peut en trouver (peut-être).
Bien sûr il faut qu'elle ne soit pas continue. Et comme je le disais plus haut, elle doit être non bornée sur tout intervalle [a,b] (a

[Quidam]

On peut se contenter de bien plus faible.
Par exemple : si f est continue en 0 ça roule.
Encore plus faible : s'il existe un intervalle [a,b] avec a<b tel que f y soit bornée, ça roule encore.

Et comme je le disais plus haut, elle doit être non bornée sur tout intervalle [a,b] (a<b). Ce qui est salement pathologique comme fonction.

Tu veux dire que s'il existe un intervalle [a,b] avec a<b tel que f y soit bornée, cela suffit à prouver que f vérifiant la propriété est nécessairement de la forme f(x)=kx ?

Et tu veux dire que si f est continue en 0, cela suffit à prouver que f vérifiant la propriété est nécessairement de la forme f(x)=kx ?

Peux-tu nous expliquer ? Merci ! (enfin, m'expliquer, je veux dire ! Peut-être que tout le monde trouve cela évident, mais moi, je ne vois pas...)

[yos]

Tu as raison de poser la question. Je ne trouve pas ça évident non plus mais c'est un exo "connu" (!) que j'ai rédigé il y a longtemps. Je t'écrirai les détails un peu plus tard car là je manque de temps.
On est loin de la rubrique lycée d'ailleurs.

[yos]

Premier critère : f est continue en 0.
On sait que f(0)=0 et f(x+h)=f(x)+f(h). Donc quand h tend vers 0, f(h) tend vers 0 et donc f(x+h) tend vers f(x). On a prouvé la continuité en x.

Second critère : f est bornée sur [a,b].
.
On va prouver que cela entraîne la continuité en 0.
On pose c=b-a (on a c>0). Les éléments de l'intervalle [0,c] sont les x-a avec x dans [a,b] et . Donc f est bornée sur [0,c].
Soit alors . On considère un nombre rationnel t tel que . On a pour :
,
,
(puisque t est rationnel : f(tx)=tf(x)),
.
Si , c'est pareil car f est impaire.
Ce qui achève de prouver .

[Quidam]

Rien à ajouter ! Merci !