F(a+b)=f(a)+f(b)

par **titine** » 02 Mai 2006, 07:41

Bonjour,
je reprends une question posée hier en précisant un peu :
Je veux démontrer que si f est une fonction définie sur R telle que pour tous réels a et b on a f(a+b) =f(a)+f(b) alors f est une fonction définie par
f(x) = k*x(une telle fonction est dite "linéaire").
Je sais démontrer que pour tout entier n : f(n) = k*n (k=f(1)).
Et aussi que f(1/n) = k*1/n.
Et même que pour tout rationnel p/q : f(p/q) = k*p/q.
Mais je n'arrive pas à montrer que pour tout réel x : f(x) = k*x.
C'est peut-être évident ...
Merci de m'aider.

par **Zebulon** » 02 Mai 2006, 07:55

Bonjour,
sais-tu que l'ensemble des rationnels

est dense dans l'ensemble des réels

?

par **Quidam** » 02 Mai 2006, 07:55

Je pense que si tu n'arrives pas à le démontrer, c'est tout simplement parce que c'est faux !
Contre-exemple : f(x)=2x pour tout x rationnel, f(x)=x pour tout x irrationnel. La condition est réalisée, et pourtant la fonction n'est pas du type "f(x)=kx" !

Par contre, si tu imposes la continuité à f, alors, en reprenant la définition des réels, tu pourras peut-être t'en tirer !

Bon courage !

par **Zebulon** » 02 Mai 2006, 07:56

Oui, il faut bien sûr ajouter la continuité et l'utiliser pour passer aux réels!

par **titine** » 02 Mai 2006, 15:58

Merci Quidam et Zebulon.
Je suis rassurée ! J'étais en effet arrivée à la conclusion qu'il fallait ajouter la condition de continuité ... J'aurai dû effectivement penser à un contre exemple.

par **titine** » 03 Mai 2006, 21:40

En fait le contre exemple de Quidam ne me convainc pas.
Si f(x) = 2x pour tout rationnel et si f(x) = x pour tout irrationnel alors
f(5) = 10 et f(pi) = pi et f(5+pi) = 5+pi
Donc f(5+pi) n'est pas égal à f(5) + f(pi)

La question reste entière ...

Qui pourra me répondre ?

par **Touriste** » 03 Mai 2006, 21:49

Salut,

Ta fonction n'est pas continue. Ton résultat n'est vrai que si tu rajoutes l'hypothèse "f continue"...

par **titine** » 03 Mai 2006, 22:08

Pouvez vous me donner un exemple de fonction non continue vérifiant
f(a + b) = f(a) + f(b) ?
Merci.

par **titine** » 04 Mai 2006, 07:43

Donc, je résume, la question est simple :
Est ce que si pour tous réels a et b on a f(a + b) = f(a) + f(b) alors on peut en conclure que f(x) = k * x (pour tout x réel) ?
Sinon donnez moins un contre exemple.
Si oui, donnez moins la démonstration ou indiquez moi où la trouver.
Merci (cette question m'obsède vraiment !)

par **Zebulon** » 04 Mai 2006, 07:54

Bonjour,
Quidam t'a donné un contre-exemple.

par **titine** » 04 Mai 2006, 08:20

Mais non justement !
Comme je l'ai déja dit l'exemple de Quidam ne vérifie pas f(a + b) = f(a) + f(b).

titine a écrit:En fait le contre exemple de Quidam ne me convainc pas.
Si f(x) = 2x pour tout rationnel et si f(x) = x pour tout irrationnel alors
f(5) = 10 et f(pi) = pi et f(5+pi) = 5+pi
Donc f(5+pi) n'est pas égal à f(5) + f(pi)

par **Zebulon** » 04 Mai 2006, 08:54

Tu as raison.
On veut montrer que quelle que soit la fonction vérifiant f(a+b)=f(a)+f(b) pour tous a et b est f(x)=kx pour tout x ou en donner un contre-exemple. Donc un contre-exemple est une fonction vérifiant f(a+b)=f(a)+f(b) pour tous a et b mais ne vérifiant pas f(x)=kx pour tout x, c'est-à-dire qu'on va exhiber un x tel que

.

par **Zebulon** » 04 Mai 2006, 09:10

En fait c'est vrai:
supposons qu'il existe un x tel que

, alors on a :

et

. Contradiction avec

.
Mais ça ça marche s'il existe un point u tel que f(u)=ku quitte à remplacer 1 par u-x.

par **titine** » 04 Mai 2006, 09:32

Oui, et alors ...?

par **Zebulon** » 04 Mai 2006, 09:34

C'était juste pour récapituler. Et il faut trouver maintenant!

par **Quidam** » 04 Mai 2006, 10:46

titine a écrit:En fait le contre exemple de Quidam ne me convainc pas.
Si f(x) = 2x pour tout rationnel et si f(x) = x pour tout irrationnel alors
f(5) = 10 et f(pi) = pi et f(5+pi) = 5+pi
Donc f(5+pi) n'est pas égal à f(5) + f(pi)

La question reste entière ...

Qui pourra me répondre ?

Tu as raison ! Je vais en chercher un autre !

par **yos** » 04 Mai 2006, 12:11

Il y a une autre possibilité : que la continuité soit inutile!

par **cesar** » 04 Mai 2006, 12:52

titine a écrit:Pouvez vous me donner un exemple de fonction non continue vérifiant
f(a + b) = f(a) + f(b) ?
Merci.

f(x)=k*(x^2)/x pas continue en o mais verifie ailleurs la relation...

ceci dit : si pour tout rationnel on a :

f(a+b) = f(a) + f(b)

il faut considerer les suites de cauchy sur Q. Les suites de Cauchy ne convergent pas toutes sur Q, mais l'ensemble des limites permet de definir R.

par **mln** » 04 Mai 2006, 12:56

commencons par a,b ds N
Si f(a+b) = f(a)+f(b)
alors :
- on a f(0)=0 puisque f(0+0)=f(0)+f(0).

- on a aussi f(ab)= b f(a) = af(b) puisque

donc pour tout a ds N, f(a) = a f(1) ( k= f(1) )

ensuite il faut essayer de faire pour Z, Q et R

par **Quidam** » 04 Mai 2006, 13:00

cesar a écrit:f(x)=k*(x^2)/x pas continue en o mais verifie ailleurs la relation...

f n'est pas définie pour tout x !

F(a+b)=f(a)+f(b)

f(a+b)=f(a)+f(b)

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