1-2+3-4+5-6+7....

[Anonyme]

Salut,

Je ne comprend rien a cette somme : 1-2+3-4+5-6+7....
On peut démontrer qu'elle tend vers +oo:

1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+ ... = 1+1+1+1+1 +.... =+oo

ou bien vers -oo:

(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8) + .... = -1 -1 -1 -1 -.... = -oo

et le plus déroutant c'est que cette somme peut aussi valoir 1/4 (Démonstration du a Euler) alors que logiquement elle ne peut prendre que des valeurs entières ! :mur:

Est ce que quelqu'un peut m'expliquer ce qui ce passe ?

Merci

[Nightmare]

Salut,

quand on travaille avec des sommes infinis, on ne peut pas regrouper les termes comme on le désire. Si l'on somme des nombres positifs, on peut, sinon, il faut faire très attention.

Pour des séries qu'on appelle absolument convergentes (ie la somme des valeurs absolus de chaque terme converge), alors on ne modifie pas la limite quand on regroupe les termes différemment. Pour une série semi-convergente (qui converge mais pas absolument), on a un théorème très fort qui dit qu'on va pouvoir la faire converger vers tout ce qu'on veut en regroupant les termes d'une certaine façon, et même la faire diverger !

Tu peux regarder [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_r%C3%A9arrangement_de_Riemann"]ici[/url] (niveau bac+2)

Edit : Cela dit ici, ta somme est grossièrement divergente, donc ce n'est pas ce dont il s'agit, mais je pense que c'était toujours bon à prendre :lol3:

Edit 2 : wiki fournit encore quelques explications.

[mathelot]

Salut,

Je ne comprend rien a cette somme : 1-2+3-4+5-6+7....

et le plus déroutant c'est que cette somme peut aussi valoir 1/4

Bj,

il y a divers moyens de sommer des séries divergentes:
- soit de leur attribuer une somme par un procédé sommatoire généralisé comme
la moyenne de Césaro
- soit en manipulant des égalités sans que les deux membres soient définis

Euler avait procédé ainsi (p-e dans une phase de recherche sur ) mais l'inconvénient est d'aboutir parfois à des absurdités

cf le livre "divergent series" de Hardy

[Anonyme]

Merci beaucoup

Donc j'ai ici une somme semi convergente (= grossièrement divergente ?) .
J'aimerais aussi savoir si ce genre de serie est utile ? a-t-il des applications intéressante ?

En sommant les termes différemment on peut atteindre n'importe quel reel. Peut-on exploiter en pratique ce théorème (assez fort) pour approcher des nombres irrationnels (pi par exemple) ?

[Ben314]

Non, la somme de départ n'est même pas "semi convergente" (une somme est "semi convergente" lorsque l'on peut la calculer, mais pas changer l'ordre des termes, par exemple 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6... est semi convergente)

Le fait qu'en permutant l'ordre de termes d'une série semi convergente, on peut la faire tendre vers le réel que l'on veut est, à mon sens, purement anecdotique, c'est à dire sans grand intérêt à part pour bien montrer que, si on fait "n'importe quoi sans justifications" (par exemple permuter les termes d'une série alors que l'on ne sait pas si on a le droit) et bien, on trouve n'importe quoi... (ce qui me parrait pédagogiquement parlant trés important).

La preuve de ce résultat est extrèmement simple et montre assez bien le peu d'intérêt du théorème.
Je te laisse chercher :

On se donne une suite de réels U1,U2,... tels que
1) La limite lorsque n->oo de U1+U2+...+Un existe
2) La limite lorsque n->oo de |U1|+|U2|+...+|Un| vaut +oo
(par exemple U1,U2,U3,U4,... = +1,-1/2,+1/3,-1/4,...)
Montrer que, pour tout réel L, il existe une bijection f de N* dans N* tel que la limite lorsque n->oo de U(f(1))+U(f(2))+...+U(f(n)) soit L.