Thermodynamique

[romanesques]

Salut à tous
Alors voilà j'ai un exercice qui permet de combiner les maths avec la physique et je dois dire que je suis un peu voir beaucoup perdu.

On souhaite étudier la loi de refroidissement d'une tasse de café chaud. On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20;)C.
On note f(t) la température (en ;)C) du café à l'instant t (en min). Ainsi, f'(t) représente la vitesse de refroidissement à l'instant t, (ou taux de perte de chaleur).
On modélise le problème par la loi de refroidissement, énoncée par Isaac Newton : « la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la di;)érence de température entre ce corps et le milieu ambiant ».
Ici, on estime que cette loi aboutit à la condition: (E) : f;)(t) = ;)0, 2[f(t) ;) 20].
1. On s'intéresse d'abord aux fonctions g véri;)ant la condition (H) : g;)(t) = ;)0, 2g(t).
(a) Montrer que les fonctions tke^(;)0,2t), où k est une constante réelle, véri;)ent toutesla condition (H).
(b) Réciproquement, démontrer que si g;)(t) = ;)0,2g(t) alors il existe un réel k tel que, pour tout t 0,g(t) = ke;)0,2t: pour cela, on pourra étudier les variations de lafonction ;) dé;)nie sur [0; +;)[ par ;)(t) = g(t)/e^(;)0,2t).
(c) En déduire toutes les fonctions g véri;)ant (H).

2. Recherche des fonctions f véri;)ant (E).
(a) Démontrer qu'il n'existe qu'une fonction constante véri;)ant (E), que l'on déterminera et que l'on notera u.
(b) Démontrer qu'une fonction f véri;)e (E) si et seulement si f ;) u véri;)e (H).
(c) En déduire toutes les fonctions f véri;)ant (E).

3. Etude de la solution du problème
(a) Sachant qu'à l'instant t = 0, le café a une température initiale de 80;)C en le versant dans la tasse, véri;)er que, au bout de t minutes, la température du café est f(t) = 60e^(;)0,2t) + 20.
(b) Quelle est la température du café au bout de 5 minutes ?
(c) Véri;)er que la température du café diminue au ;)l du temps et indiquer la température « limite » du café à long terme.

A vrai dire je ne sais même pas par où commencer et comment faire :/
Si quelqu'un pourrait m'aider.
Merci d'avance et bon week-end
Quentin

[Manny06]

Salut à tous
Alors voilà j'ai un exercice qui permet de combiner les maths avec la physique et je dois dire que je suis un peu voir beaucoup perdu.

On souhaite étudier la loi de refroidissement d'une tasse de café chaud. On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20;)C.
On note f(t) la température (en C) du café à l'instant t (en min). Ainsi, f'(t) représente la vitesse de refroidissement à l'instant t, (ou taux de perte de chaleur).
On modélise le problème par la loi de refroidissement, énoncée par Isaac Newton : « la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la di;)érence de température entre ce corps et le milieu ambiant ».
Ici, on estime que cette loi aboutit à la condition: (E) : f;)(t) = 0, 2[f(t) 20].
1. On s'intéresse d'abord aux fonctions g véri;)ant la condition (H) : g;)(t) = 0, 2g(t).
(a) Montrer que les fonctions tke^(;)0,2t), où k est une constante réelle, véri;)ent toutesla condition (H).
(b) Réciproquement, démontrer que si g;)(t) = 0,2g(t) alors il existe un réel k tel que, pour tout t 0,g(t) = ke;)0,2t: pour cela, on pourra étudier les variations de lafonction dé;)nie sur [0; +;)[ par (t) = g(t)/e^(;)0,2t).
(c) En déduire toutes les fonctions g véri;)ant (H).

2. Recherche des fonctions f véri;)ant (E).
(a) Démontrer qu'il n'existe qu'une fonction constante véri;)ant (E), que l'on déterminera et que l'on notera u.
(b) Démontrer qu'une fonction f véri;)e (E) si et seulement si f u véri;)e (H).
(c) En déduire toutes les fonctions f véri;)ant (E).

3. Etude de la solution du problème
(a) Sachant qu'à l'instant t = 0, le café a une température initiale de 80;)C en le versant dans la tasse, véri;)er que, au bout de t minutes, la température du café est f(t) = 60e^(;)0,2t) + 20.
(b) Quelle est la température du café au bout de 5 minutes ?
(c) Véri;)er que la température du café diminue au l du temps et indiquer la température « limite » du café à long terme.

A vrai dire je ne sais même pas par où commencer et comment faire :/
Si quelqu'un pourrait m'aider.
Merci d'avance et bon week-end
Quentin

la 1) consiste à la résolution de l'équartion diff du 1) ordre y'=ky ce qui est du programme de terminale

[romanesques]

la 1) consiste à la résolution de l'équartion diff du 1) ordre y'=ky ce qui est du programme de terminale

Malheureusement je ne l'ai pas encore vu en cours :/ Je présume donc que mon prof veut me faire réfléchir ^^

[Manny06]

Malheureusement je ne l'ai pas encore vu en cours :/ Je présume donc que mon prof veut me faire réfléchir ^^

tu peux verifier sans problème que g(t)=Ce^(-0,2t) est solution de H
pour la réciproque on utilise la méthode dite de"variation des constantes"
on pose g(t) =C(t)e^(-0,2t)
on derive g(t) ensuite on ecrit que G(t) est solution deH
on obtient (fais les calculs) C'(t)e^(-0,2t)=0 que peux tu en conclure ?