The golden Number

[Anonyme]

Bonjour, voici un petit problème en or si je puis dire..

Soit x le nombre phi (alias le nombre d'or)

1)Démontrer la règle selon laquelle x²=x+1

2) On suppose que le nombre x est un rationel.Soit p/q son écriture irréductible, démontrer que p²=q²+pq et que p²-q²=pq

Voila merci d'avance

[becirj]

Bonjour

Il faudrait préciser quelle définition prends-tu pour le nombre . Géométrique ?

[becirj]

Pour la deuxième question, il suffit de remplacer x par dans et de réduire au même dénominateur.
La deuxième égalité découle immédiatement de la première

[mathador]

Salut, simple précision : on dit "golden ratio" plutôt que "golden number" ... mais c'est secondaire !
Petit truc amusant : soit une suite (Un) définie par :
U0 = k
U1 = m (k et m des réels positifs).
Un = U(n-1) + U(n-2). (suite dite de Fibonacci)
On peut prouver que la limite quand n tend vers l'infini de U(n+1)/Un vaut le nombre d'or (si vous essayez avec un tableur, vous verrez qu'on a déjà une très bonne approximation pour n=30 )
Cordialement