Tapis de sierpinski dm

[skywel]

Bonjour,
j'imagine que je ne suis pas la seule à demander une aise sur ce genre de sujet mais je n'ai trouvé des réponses nul part ailleurs...

Pour résumé, voici mon énoncé :
Un carré d'aire d'1m^2 est divisé en 9 carrés identiques. On colorie le carré central. Les 8 carrés centraux sont alors obtenus.
On poursuit avec la même méthode la division et le coloriage du carré.
Pour tout entier n > ou = à 1, on désigner par An l'aire, en m^2, de la surface total coloriée à l'étape n.
On a ainsi A1 = 1/9. Sur le coloriage (8 carrés restant également coupés en 9 donc 8 carrés + central colorié), la surface coloriée correspond à l'étape 2.
1) a- En remarquant qu'à chaque étape on colorie 1/9 de la partie non coloriée, justifier que pour tout entier naturel n > ou = à 1, on a :
An+1 = An +1/9(1-An) puis An+1=8/9An+1/9

b- Afficher sur l'écran de la calculatrice les termes An pour n allant de 1 à 50.
Donner les valeurs arrondies à 10^-3 près des termes A5, A10, A20, A30 et A50.

c- Quel semble être le comportement de An quand n devient de plus en plus grand ?

2) Pour tout entier naturel n > ou = à 1, on pose Bn=An-1

a- Démontrer que la suite (Bn) est géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme.

b- En déduire pour tout n > ou = à 1, l'expression de Bn puis celle de An en fonction de n.

c- Conjecturer le comportement de la suite (An) quand elle devient de plus en plus grand. En donner une interprétation.

d) à l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d'étapes on aura colorié au moins 85 % du carré initial ?

e- Peut-on avoir plus de 95 % du carré initial colorié ? Plus de 99 % ?

Je sais que c'est un dm assez conséquent... j'ai quelques interprétation ici et là mais rien de très concluant. Je vous remercie d'avance de prendre le temps de m'apporter votre aide afin de rendre ce dm et de le comprendre au mieux.

Bonne soirée

[chan79]

salut
C'est quoi le souci pour la 1a ?
Ce qui est colorié à l'étape n+1, c'est la somme de ce qui est déjà colorié (An) et de 1/9 de ce qui n'est pas encore colorié (1-An).

[skywel]

D'accord, mais le 1 de (1-An) correspond à quoi ?
Merci

[chan79]

D'accord, mais le 1 de (1-An) correspond à quoi ?
Merci

1 est l'aire du carré initial
on colorie à chaque fois 1/9 de ce qui n'est pas colorié soit 1/9 de (1-An)

[pascal16]

j'ai pas retrouvé le sujet sur le même exo passé pendant les vacances

[skywel]

D'accord, mais le 1 de (1-An) correspond à quoi ?
Merci

1 est l'aire du carré initial
on colorie à chaque fois 1/9 de ce qui n'est pas colorié soit 1/9 de (1-An)

D'accord merci j'ai compris, ce que je dois faire à la question 1) c'est dire en quelques sortes à quoi correspondent chaque terme ? Et remplacé n par 1 puis calculé et conclure ?

[skywel]

up svp j'ai vraiment besoin d'aide

[chan79]

Je suppose que tu as compris la 1a.
Connaissant A1=1/9, tu peux calculer A2=8/9*1/9+1/9=17/81
etc

[skywel]

Très bien merci pour toute votre aide ! Aujourd'hui j'ai tout avancer, il ne me reste plus que les 2 dernières questions , la d et e du 2) sur lesquelles je coince, quelqu'un pourrait me donner le chemin à suivre svp ?

[chan79]

Tu arrives à quelle expression de An en fonction de n ?

[skywel]

Tu arrives à quelle expression de An en fonction de n ?

Je ne sais pas du tout si c'est ça mais voici ce que j'ai trouvé si j'arrive à me relire dans mes notes :
An=-(8/9)^n+1

[chan79]

oui, c'est ça
A noter que geogebra permet de dessiner assez rapidement cette figure, en créant un outil.

[skywel]

D'accord merci pour votre aide ! j'ai trouvé la solution pour les 2 dernier exercice ^^