Tangente à une fonction à partir d'un point exterieur

[Ben314]

Salut, si ça t'amuse, il y a une autre méthode sans utiliser l'équation de la tangente (mais je suis à peu prés persuadé que c'est celle que tu as employé qui est attendue) :
Les droite passant par B:(0;310), c'est celles d'équation où est une constante.
Ensuite, si une telle droite est tangente à la parabole, c'est qu'elle ne coupe la parabole qu'en un unique point (*) donc l'équation -x²/1875+300=kx+310 doit avoir une unique solution.
Or cette équation s'écrit aussi x²/1875+kx+10=0 qui est une équation du second degré et on sait qu'une telle équation admet une unique solution si et seulement si le discriminant est nul, c'est à dire si et seulement si k²-4*(1/1875)*10=0. De plus, on sait que dans ce cas là, l'unique solution sera x=-k/(2*1/1875).
Et il n'y a plus qu'à résoudre...

(*) Je sais pas si c'est forcément accepté au niveau Lycée vu que c'est du "visuel" sur un graphique.
Et si on cherche à le démontrer par du calcul, ben on revient immédiatement sur des histoire d'équation de tangentes alors que l'intérêt de la méthode, c'est de pas les utiliser...

[Lostounet]

(*) Je sais pas si c'est forcément accepté au niveau Lycée vu que c'est du "visuel" sur un graphique.
Et si on cherche à le démontrer par du calcul, ben on revient immédiatement sur des histoire d'équation de tangentes alors que l'intérêt de la méthode, c'est de pas les utiliser...

D'ailleurs j'ai toujours du mal à justifier ce point (et donc l'emploi de cette méthode que j'aime bien) vu que la tangence est une propriété locale (la tangente peut très bien recouper la courbe ailleurs..). Du coup ta méthode utilise la "forme" de la parabole (ou du cercle par exemple... )
Il peut y avoir plusieurs solutions et que ce soit quand même une tangente non? (par exemple avec des sinus croissants etc...) non?

[Ben314]

Oui, tout à fait.
En fait, le fait qu'une droite D soit tangente à une courbe C, ça veut dire que, au niveau des équations, l'intersection est "une racine double" (dans le cas des polynômes, ça a parfaitement du sens et dans des cas plus généraux, on peut lui donner du sens, via la dérivée justement).
Or, que ce soit les paraboles y=ax²+bx+c où les cercles (x-a)²+(y-b)²=R², voire même de façon plus générale toutes les coniques ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0, sont des équations de degré 2 donc quand tu "injecte" du y=px+q (ou bien x=p'y+q' pour aussi englober les droites verticales), ça reste de degré au plus 2 donc s'il y a une une racine double ben forcément il n'y en a pas d'autre. (attention par contre à la réciproque : il peut n'y avoir qu'une seule solution du fait que l'équation se simplifie et devient de degré 1. L'idéal pour maitriser ce cas là, c'est de se placer en projectif où ton équation de degré 1 se met à avoir une deuxième solution "à l'infini" et on retombe sur ces pattes).
Bref, si tu veut des "contre exemple", il te suffit de prendre... n'importe quoi qui ne soit pas une conique.
Par exemple rien qu'avec y=x^3, ben ça marche plus : toutes les tangentes (sauf celle en 0) recoupent la courbe et c'est parfaitement normal vu qu'on a une équation de degré 3 et qu'une telle équation, si elle a une racine réelle double, alors elle a forcément une autre racine réelle (sauf si la racine est triple ce qui est le cas uniquement avec la tangente en 0). Pour le degré 4, c'est moins clair : si tu as une racine réelle double alors l'autre facteur (de degré 2) peut avoir ou ne pas avoir de racines dans R.
Bref, ce genre de considération, ça marche super bien dans C (algébriquement clos) et en projectif (où les équation ne changent pas de degré comme de chemise....) et c'est en général dans ce contexte là qu'on fait de la "géométrie algébrique".

[Lostounet]

D'accord je comprends quasiment tout ton post! Modulo le passage "en projectif"... je m'y connais moyennement.
Merci pour cette généralisation qui tire les choses au clair.

PS: j'ai aimé ta manière d'expédier les tangentes verticales (équations réduites "en x")