SVP de l'aide

[stephzub]

Bonjour a tous g un petit problème c l'exo 62 p 113 du bouquin de maths Déclic de TS.

" A l'instant t=0 , on injecte dans le sang d'un patient une dose de 3ml d'un médicament. Une étude du processus d'élimination de ce médicament a permis d'observer qu'a chaque instant t, exprimé en heures. la vitesse d'élimination de ce produit est proportionelle à la quantité f(t) exprimée en ml, de ce médicament encore présent dans le sang du patient c'est à dire qu'il existe une constante strictement positive k telle que :
f'(t)=-kf(t)

1°) un dosage effectué au bout de 30mn c'est à dire a l'instant 1/2 , permet d'estimer la quantité de médicament présente dans le sang à 2,85ml
End déduire une approximation de f'(0), puis de k
2°)On suppose que k=0,1
a) Exprimer f(t) en fonction de t "

Si qq pourrait m'aider SVP ce serai sympa!!

[Quidam]

f'(t)=-kf(t)

Connais-tu une fonction qui soit proportionnelle à sa dérivée ?

Ou bien :



Connais-tu une primitive de ? Si oui, soit F(t) une telle fonction ; alors si , la primitive F(t) du premier membre est forcément l'une des primitives du second membre : -kt+C. Donc :
F(t)=-kt+C

Bien sûr, ça suppose que tu connaisse une primitive de ! Qu'en penses-tu ?

[stephzub]

exp(x) ??????

[Quidam]

exp(x) ??????

Oui, c'est l'une d'entre elles : exp(x) est non seulement proportionnelle à sa dérivée, mais elle lui est égale !

Tu brûles ! C'est quoi les fonctions proportionnelles à leurs dérivées ?

[stephzub]

c'est b.exp(a.t)???

[stephzub]

ou Cexp(a)-b/a???

[Quidam]

c'est b.exp(a.t)???

Bingo !
Oui, bien sûr, c'est ça ! J'espère que tu trouveras tout seul la prochaine fois !

Bon courage, tu sais le faire maintenant non ?

[stephzub]

oui mais dans cette exercice que représente a et b??? dsl

[stephzub]

si je me trompe pas ça voudrais dire que puisque on a
f'(t)=-kf(t)
k=-1
puisque -k=f'(t)/f(t) et f(t)=f'(t) si je me trompe pas?

[Quidam]

si je me trompe pas ça voudrais dire que puisque on a
f'(t)=-kf(t)
k=-1
puisque -k=f'(t)/f(t) et f(t)=f'(t) si je me trompe pas?

Oui, si tu ne te trompes pas ! Mais tu te trompes !

Tu sais que les seules fonctions proportionnelles à leurs dérivées sont de la forme : f(x)=b.exp(at). Dans ces conditions, tu sais que f'(t)=ab.exp(at) et par conséquent, f'(t)/f(t)=a. Comme l'énoncé te parle d'une constante k telle que f'(t)=-kf(t), tu en déduis que k=-f'(t)/f(t). La valeur de a est donc -k.

Tu sais maintenant que tu cherches une fonction du type f(t)=b.exp(-kt)

Le tout est de trouver b et k.
Que dit l'énoncé :
"A l'instant t=0 , on injecte dans le sang d'un patient une dose de 3ml "
et
"a l'instant 1/2 , permet d'estimer la quantité de médicament présente dans le sang à 2,85ml"
Une approximation de la dérivée f'(0) peut être : , soit soit encore -0.3.

Ensuite, on te donne k=0.1 ; ta fonction est donc f(t)=b.exp(-0.1 t). Mais tu sais que à t=0, f(t)=3 ; tu peux en déduire la valeur de b :
f(0)=3=b . exp(0) = b. D'où finalement

[stephzub]

merci beacoup pour ton aide!!!