[TS+][Exercice]Suites-Convergence

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 12:39

Bonjour,
Tout à l'heure en regardant certains exos sur les suites, il m'est venu à l'esprit de faire un petit exo sur les suites, sur une suite particulièrement connue.
Je vous le propose, il n'est pas olympique, mais pas trivial ( enfin je pense :hein: ) et j'espère qu'il intéressera quelques uns d'entre vous ( sinon c'est pas grave...)

Énoncé:
Étudier la convergence de la suite définie sur N par :

et

Bon travail :id:

Correction : Dans le courant de la soirée ou demain matin

Je suis désolé du doublon, mais je n'arrive pas à ouvrir l'autre message, l'écran m'affiche un message d'erreur ...

par **Dinozzo13** » 24 Fév 2010, 12:50

Salut !
Si j'ai le temps je m'y pencherai ce soir.
J'ai un doute, qu'entends-tu par "étudier la convergence" ?

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 12:53

faut que tu prouve que si elle converge c'est vers tel réelle ou alors que elle converge pas .

Bien sur le premier terme on te dit juste qu'il est dans ]0;1[ ....

par **Dinozzo13** » 24 Fév 2010, 12:57

c'est bien ce que je pensais :++:
eller ne peut donc pas converger vers l'infini ?

par **Ben314** » 24 Fév 2010, 12:59

Dinozzo13 a écrit:elle ne peut donc pas converger vers l'infini ?

C'est vrai MAIS... à démontrer...

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 13:02

oui tout est envisageable, mais tout est a démontrer , convergence, divergence etc

par **Dinozzo13** » 24 Fév 2010, 13:03

Ben314 a écrit:C'est vrai MAIS... à démontrer...

^^ biensûr

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 13:14

Hum, de tête : j'ai l'impression d'avoir une suite bornée (contenue dans ]0,1[), et monotone (dépendant de la position de u0 par rapport au point fixe). Donc a priori une suite convergente dans les deux cas vers ce dernier

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 13:24

non elle est pas monotone. Enfin, de tête c'est ce que je vois.

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 13:29

Effectivement, x->1-x² n'est pas croissante sur ]0,1[ contrairement à ce que mon cerveau a voulu me faire croire.

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 13:37

Nightmare a écrit:Effectivement, x->1-x² n'est pas croissante sur ]0,1[ contrairement à ce que mon cerveau a voulu me faire croire.

satané cerveaux, ceux là quand ils ont quelque chose dans la tête , les DS se transforment en foire aux conneries !!
pour l'exo j'ai découpé en sous suites et étudier leur convergence pour conclure, mais je suppose que l'exo t'as pas posé de problèmes :ptdr:

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 13:48

Après quelques calculs, je trouve une suite divergente :

Soit

point fixe de

.

Je pose

mais

d'où

Du coup

et il existe un rang N à partir du quel

, soit par récurrence,

et (vn) diverge donc...

par **Ben314** » 24 Fév 2010, 13:50

Celle de bénékire, je sais faire (mais il y a un cas particulier pour U0...)
S'il y en a des qui veulent du trés trés dur sans indics, j'ai celui là dans le fond de ma culote :
Soit U0 dans [0,1] et U(n+1)=4.Un.(1-Un). Déterminer les valeurs d'adhérence de Un en fonction du U0 choisi

Attention, le 4 n'est pas du tout quelconque, mais alors pas du tout du tout....

P.S. Pour celle de bénékire, peut être peut-on songer à étudier U(2n)...

Pour nightmare : OK, sauf bien entendu si U0=alpha [<- message que j'ai précisément édité... en même temps que Nightmare éditait le sien...]

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 13:50

Le raisonnement est un peu bancal écrit comme cela, il faut supposer que (un) converge vers alpha et la divergence de (vn) entraine l'absurdité.

Edit : Avant que Ben ne me le fasse remarquer, je précise qu'on exclu les cas où u(n) stationne vers les points fixes (en particulier, on prend u0 différent de ceux-ci)

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 13:51

je remarque au passage que ta dernière ligne est souvent reprise dans de nombreux exercices, c'est a retenir ( enfin a "graver" )

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 13:52

Ben314 a écrit:P.S. Pour celle de bénékire, peut être peut-on songer à étudier U(2n)...
Pour nightmare : OK, sauf bien entendu si U0=alpha.

oui j'ai u(2n) et u(2n+1)

le cas particulier c'est u0 telle que u est constante, ça converge !!

@nightmare

trop tard :ptdr: ben l'avais déjà fais remarquer, mais bon c'est franchement pas important, sauf pour la rigueur obv

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 14:04

D'ailleurs Ben, j'ai l'impression qu'on dit une grosse bêtise. Certes, mon raisonnement est valable pourvu que la suite ne stationne pas à alpha et beta, mais a priori rien ne dit qu'elle ne va le faire que si u0 est égal à alpha ou beta. Je crois même qu'il est difficile de prévoir les valeurs de u0 pour lesquelles la suite va stationner sur les points fixes..

par **ft73** » 24 Fév 2010, 14:20

ici les deux sous-suites s'éloignent du point fixe, donc pas de problème.

par **Ben314** » 24 Fév 2010, 14:29

Nightmare a écrit:D'ailleurs Ben, j'ai l'impression qu'on dit une grosse bêtise. Certes, mon raisonnement est valable pourvu que la suite ne stationne pas à alpha et beta, mais a priori rien ne dit qu'elle ne va le faire que si u0 est égal à alpha ou beta. Je crois même qu'il est difficile de prévoir les valeurs de u0 pour lesquelles la suite va stationner sur les points fixes..

Tu semble avoir oublié l'hypothèse "0<U0<1" qui permet d'avoir un seul point fixe ET surtout de dire que f est bijective de [0,1] sur [0,1]. Ce qui prouve que, si un certain Un vaut alpha, c'est que l'on est parti de U0=alpha.

Tu aurait parfaitement raison si on partait de U0 dans R, cas dans lequel il faudrait estimer les images réciproques des images réciproques.... de alpha et de beta (dont la nature : partout dense ? points d'accumulation ? me parrait trés complexe niveau lycée...)

par **benekire2** » 24 Fév 2010, 14:36

ft73 a écrit:ici les deux sous-suites s'éloignent du point fixe, donc pas de problème.

oui avec les deux sous suites y a pas de problèmes, mais c'était avec la méthode de night.

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