Suite [confirmation de raisonnement]

[nxthunder]

Bonjour a tous,
Voici mon problème : Montrer que
Si lim (un) = L
n->+infini

Alors

lim (u(n+1)) = L
n->+infini
Donc je me suis aidé de la définition qui dit que :

Code: Tout sélectionner

 [B]lim (un) = L
       n->+infini[/B] signifie que tout pour intervalle I ouvert centré en L, il existe un rang p, a partir duquel tous les termes de la suite sont compris dans I quelque soit n>p on aura donc (un) appartenant à I.

J'ai donc distingué deux cas, un cas ou la suite est croissante et l'autre ou elle est décroissante.

Ainsi lorsque (un) est croissante on a:
On pose tout d'abord I=]L-a; L+a[

u(n) +infini

Donc d'apres la définition on peut écrire que :

n >ou= p ou p est le rang a partir duquel (un) est dans I
ainsi u(n) >ou= u(p)
Or comme (un) est croissante u(n+1) est forcément > à u(n)
donc u(n+1)>u(n) u(n+1)>u(p) n+1>p
ET ainsi u(n+1) est contenu dans l'intervalle I, donc on peut écrire que

lim (un+1) = L
n->+infini

Est ce correct ????

Et maintenant le cas ou (un) est décroissante :

Donc d'apres la définition on peut écrire que :

n >ou= p ou p est le rang a partir duquel (un) est dans I
ainsi u(n) >ou= u(p)
Or comme (un) est décroissante u(n+1) est forcément +infini[/B]

Est ce correct ?

Merci de votre aide

++

[nxthunder]

Personne ? :cry:

[abcd22]

Bonsoir !
Tu compliques inutilement le problème et tu ne démontres pas le résultat pour toutes les suites : il y en a qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes.
Si tous les , sont dans I, où I est un intrevalle centré en L, et qu'on note , que peut-on dire de pour ?

[nxthunder]

Salut abcd22,

Je ne comprends pas ron raisonnement pourquoi tu marques C'est impossible !

[muse]

deja il a mi un petit 1 donc } est opssible pour une suite constante ensuite il a pas mi sa il a mi un ;)

[nxthunder]

Oui Muse cest une erreur de frappe autant pour moi

Mais si on suppose que est constante on a alors :


ou p est le rang a partir duquel est dans I
Donc
Or est constante ce qui équivaut a dire que

Donc que et ainsi
Autrement dit tend vers L.

Serait ce ca ?

[abcd22]

Tu cherches trop compliqué, ou tu confonds la suite et les indices... On n'a pas besoin de croissance de la suite ou quoi que ce soit, on prend un intervalle I qui contient L, on sait donc qu'il existe p tel que pour . On remarque que si , alors , donc est dans I !

[nxthunder]

AH ouaiiiiiiiiiiii merci bcp abcd22 je vois.

Donc si je pige bien c'est

En posant que
et Si
Donc que et d'apres la définition
On a c'est à dire que
Equivaut à écrire que donc que et donc que ainsi . Donc en conclusion et ainsi

[abcd22]

En posant que
et Si
Donc que et d'apres la définition
On a c'est à dire que

Ce n'est pas clair comme phrase, d'après la définition, il existe p tel que pour tout n plus grand que p, .

Equivaut à écrire que donc que et donc que ainsi

NON !! Il n'y a rien qui te permet d'écrire cette inégalité entre des termes de la suite (on la suppose seulement convergente, pas croissante) ! Le raisonnement se fait uniquement sur les indices !

. Donc en conclusion et ainsi

est dans I dès que n est plus grand que p-1 parce que c'est un terme de la suite d'indice plus grand que p, et on a supposé que tous les termes d'indice plus grands que p étaient dans I.