[termS]spécialitéPGCD

[Anonyme]

bonjour tous le monde, merci d'avance pour votre aide!
Voila j'ai deux exercice où je séche complétement.


Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
1 Montrer que a+b et que ab sont premiers entre eux!
Je pense qu'on doit utiliser le th de bézout mais j'ai beau le tourné ds
tout les sens....

2 a )
verifions que a²-ab+b²=(a+b)²-3ab
ça ya pas de probleme!!!
b)
en déduire que a+b et a²-ab+b² st premiers entre eux ou diviscible par 3.
biensur il faut utiliser ce qu'il ya au dessus mais de qu'elle façon?

3 Demontrer l'égalité:
PGCD(a+b;a²-ab+b²)=PGCD(a+b;3)

je pense qu'il faut utiliser PGCD(u;v1)=1 ; PGCD(u; v2)=1 ; alors
PGCD(u; v1v2) =1

Je pense que je n'y arrive pas parcque je n'ai pas bien saisi les théorème
de Gauss et bézout, si vous pouviez me l'est expliqué ce serait vraiment
sympa!!!



j'ai un 2ieme exos!!
je crois que celui la est encore plus flou!!!
1 Determioner l'ensemble E des entiers relatifs n tels que n-1 divise n+3


2) Démontere que, pr tout entier relatifs n >=2, les entiers n-1 et n²+2n-2
sont 1èr entre eux.


3) enfin determiner l'ensemble F des entiers naturels n tels que
(n-1)(2n^3+1) divise (n+3)(n²+2n-2)
je pense que je peux reussir cette questionssi j'ai compris les deux
premièrsavec le théorème de Gauss

merci marie

[Anonyme]

ndl wrote:

> 1 Montrer que a+b et que ab sont premiers entre eux!
> Je pense qu'on doit utiliser le th de bézout mais j'ai beau le tourné ds
> tout les sens....

On peut utiliser le théorème de Bézout, mais c'est compliqué.

On commence par remarquer que : b(a+b)-ab=b^2

En appliquant Bézout : ua+vb=1
et en multipliant par b,
on a : uab+vb^2=b
donc : uab+v[b(a+b)-ab]=b
(u-v)ab+vb(a+b)=b

De même :
(v-u)ab+ua(a+b)=a

et en substituant à a et b leurs expressions en fonction de ab et (a+b)
dans l'identité de Bézout :
u[(v-u)ab+ua(a+b)]+v[(u-v)ab+vb(a+b)]=1
-(v-u)^2 ab + (u^2 a+v^2 b)(a+b)=1

ce qui n'est guère sympathique (et ce qui n'est certainement pas la
preuve attendue).

Autre possibilité : revenir à la définition du PGCD. Si d est un nombre
premier qui divise ab et (a+b), que peut on dire de d ?

> 2 a )
> verifions que a"-ab+b"=(a+b)"-3ab
> ça ya pas de probleme!!!
> b)
> en déduire que a+b et a"-ab+b" st premiers entre eux ou diviscible par
> 3.
> biensur il faut utiliser ce qu'il ya au dessus mais de qu'elle façon?

Pense à l'algorithme d'Euclide.

--
B.R

[Anonyme]

"ndl" a écrit dans le message de
news:4188a66f$0$9261$636a15ce@news.free.fr...
> bonjour tous le monde, merci d'avance pour votre aide!
> Voila j'ai deux exercice où je séche complétement.
>
>
> Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
> 1 Montrer que a+b et que ab sont premiers entre eux!
> Je pense qu'on doit utiliser le th de bézout mais j'ai beau le tourné ds
> tout les sens....

Peut-être que Bézout n'est pas une bonne piste et qu'il vaut mieux revenir
aux bases du PGCD.
Cherchons un nombre premier qui diviserait a+b et ab.
S'il divise ab, c'est qu'il divise forcément a ou b ( là, j'avoue, je ne
sais pas si c'est au programme de TS )
Mais s'il divise a ou b et qu'il divise aussi a+b, c'est qu'il divise aussi
....


--
Psyko Niko

[Anonyme]

ndl wrote:

> 1 Determioner l'ensemble E des entiers relatifs n tels que n-1 divise n+3

En faisant la division euclidienne du polynome n+3 par n-1 :

n+3=(n-1)+...

on voit que, si (n-1) divise (n+3), alors : (n-1) divise 4, donc...

> 2) Démontere que, pr tout entier relatifs n >=2, les entiers n-1 et n"+2n-2
> sont 1èr entre eux.

En faisant la division euclidienne du polynome n"+2n-2 par n-1 :
n"+2n-2=(n-1)(n+3) + ...

on conclut que...

> 3) enfin determiner l'ensemble F des entiers naturels n tels que
> (n-1)(2n^3+1) divise (n+3)(n"+2n-2)

(n-1) divise (n+3)(n"+2n-2), et (n-1) est premier avec (n"+2n-2)...
Donc, (n-1) divise (n+3).

Les valeurs possibles de n sont donc ...
et, pour chacune de ces valeurs, on vérifie (ou pas) si (n-1)(2n^3+1)
divise (n+3)(n"+2n-2).

[Anonyme]

"ndl" a écrit dans le message de news:
4188a66f$0$9261$636a15ce@news.free.fr...
> bonjour tous le monde, merci d'avance pour votre aide!
> Voila j'ai deux exercice où je séche complétement.
>
>
> Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
> 1 Montrer que a+b et que ab sont premiers entre eux!
> Je pense qu'on doit utiliser le th de bézout mais j'ai beau le tourné ds
> tout les sens....
On peut utiliser bezout, mais pas dans toute la démonstration.
a et b premiers entre eux => il existe u,v tels que au+bv=1
donc (a+b)u
+b(v-u) =1 et donc b est premier avec a+b
On fait de même pour montrer que a est premier avec a+b.
On a : a premier avec a+b
b premier avec a+b.

Il ne reste plus qu'a conclure (personellement je ne sais pas si c'est un
théorème, mais ca me parait logique.)

[Anonyme]

"bucou" a écrit dans le message de news:
4188c877$0$30748$636a15ce@news.free.fr...
> "ndl" a écrit dans le message de news:
> 4188a66f$0$9261$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
> > bonjour tous le monde, merci d'avance pour votre aide!
> > Voila j'ai deux exercice où je séche complétement.
> >
> >
> > Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
> > 1 Montrer que a+b et que ab sont premiers entre eux!
> > Je pense qu'on doit utiliser le th de bézout mais j'ai beau le tourné ds
> > tout les sens....
> On peut utiliser bezout, mais pas dans toute la démonstration.
> a et b premiers entre eux => il existe u,v tels que au+bv=1
> donc (a+b)u
> +b(v-u) =1 et donc b est premier avec a+b
> On fait de même pour montrer que a est premier avec a+b.
> On a : a premier avec a+b
> b premier avec a+b.
>
> Il ne reste plus qu'a conclure (personellement je ne sais pas si c'est un
> théorème, mais ca me parait logique.)[/color]

Oui, c'est vrai, il suffit de constater qu'un diviseur commun à a et b est
aussi un diviseur de a + b. C'est donc forcément 1. cqfd