Spé Maths fonctions irréductibles

par **Flyingkiki** » 11 Sep 2006, 18:25

Bonsoir à tous !

C'est la première fois que je poste ici, même si j'ai déjà pu lire des choses très interessantes sur ce forum ! Je suis en Terminale S.

Ce ne sont pas des exercices urgents, donc je ne vais pas faire le gros stressé... Ce sont juste deux exercices sur les fractions irréductibles en Arithmétique. J'ai découvert la Spé Maths cette année, c'est assez inhabituel comme façon de procéder, mais je m'y ferai !

L'exercice demande de démontrer que les fractions qui suivent sont irréductibles. Fonction comme celle-ci par exemple : n/2n+1

Je ne viens en aucun cas ici pour avoir des réponses, mais plutôt une piste. En effet, je veux essayer de comprendre et pas écrire bêtement la réponse. Je voulais donc savoir ( j'y viens désolé ) quelle caractéristique de la fraction irréductible utiliser... PGCD ? Quotient donnant un nombre entier ? Etc...

Merci, et bonne soirée à tous !
Killian

par **atito** » 11 Sep 2006, 18:33

Si j'ai bien compris la question est comment démontrer qu'une fonction quotient de deux polynômes (les fonctions rationnelles) est irréductible ou pas.

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 18:35

Donc elle est réductible.

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 18:37

C reductible si le numérateur a un degré supérieur ou égal au denominateur si je ne m'abuse?

récurrence non ?

par **atito** » 11 Sep 2006, 18:40

Flodelarab a écrit:

Donc elle est réductible.

Il me semble qu'il demande la définition même de réductible ...

par **Flyingkiki** » 11 Sep 2006, 18:49

Merci

Pas la définition même, mais plutôt comment utilise ladite définition de façon à prouver que la fraction est irréductible.

Tenez, voici la consigne exactes :

Démontrer que, quel soit l'entier naturel n, les fractions suivantes sont irréductibles.

a. n/2n+1

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 18:53

Flyingkiki a écrit:Merci

Pas la définition même, mais plutôt comment utilise ladite définition de façon à prouver que la fraction est irréductible.

Tenez, voici la consigne exactes :

Je viens de te prouver le contraire ....

par **Flyingkiki** » 11 Sep 2006, 19:02

Oups désolé, je viens de me rendre compte que j'ai écris "fonctions" au lieu de "fractions" dans mon premier message...

Désolé si je vous embête avec mes bêtises :triste:

par **abcd22** » 11 Sep 2006, 19:26

Bonsoir !
Une fraction irréductible c'est un nombre rationnel écrit sous la forme p/q avec PGCD(p,q) = 1, c'est ça ? Je ne vois pas ce que tu veux dire par « quotient donnant un nombre entier » comme caractérisation ?
Pour ton exemple si on veut montrer que n/(2n+1) est irréductible, on essaie de montrer que pgcd(n, 2n+1) = 1, donc on prend d un diviseur de n et de 2n+1, il faut montrer qu'il divise 1...

par **Flyingkiki** » 11 Sep 2006, 19:34

Ah oui désolé ! En fait, ce que je voulais dire, tu me l'as montré !
Je voulais dire que quand une fraction est irréductible, leur quotient n'est pas un nombre entier... Donc il faut que je montre que j'aurai un nombre décimal pour n'importe quelle valeur de n, c'est cela ?

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 19:35

abcd22 a écrit:Bonsoir !
Une fraction irréductible c'est un nombre rationnel écrit sous la forme p/q avec PGCD(p,q) = 1, c'est ça ? Je ne vois pas ce que tu veux dire par « quotient donnant un nombre entier » comme caractérisation ?
Pour ton exemple si on veut montrer que n/(2n+1) est irréductible, on essaie de montrer que pgcd(n, 2n+1) = 1, donc on prend d un diviseur de n et de 2n+1, il faut montrer qu'il divise 1...

????????
Aucune fraction serait reductible avec ton raisonnement !

Moi je dirais plutot qu'avec l'algo d'Euclide, le PGCD est 1

par **abcd22** » 11 Sep 2006, 19:38

Flodelarab a écrit:????????
Aucune fraction serait reductible avec ton raisonnement !

Moi je dirais plutot qu'avec l'algo d'Euclide, le PGCD est 1

4/8 c'est pas réductible d'après toi ?

par **atito** » 11 Sep 2006, 19:39

4/8 est réductible pour moi PGCD(4,8)=4

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 19:55

abcd22 a écrit:4/8 c'est pas réductible d'après toi ?

Ben si justement!

2 divise 4; 2 divise 8 et 2 divise pas 1 .....

Moi avec mon algorithme d'Euclide, ça marche ....

par **abcd22** » 11 Sep 2006, 19:55

Flyingkiki a écrit:Ah oui désolé ! En fait, ce que je voulais dire, tu me l'as montré !
Je voulais dire que quand une fraction est irréductible, leur quotient n'est pas un nombre entier...

Le quotient de quoi ? Si c'est le quotient numérateur/dénominateur ou dénominateur/numérateur, c'est faux : les fractions 4/1 ou 1/4 sont irréductibles et le quotient numérateur/dénominateur dans le 1er cas, dénominateur/numérateur ds le 2e cas est entier. A l'inverse 6/15 n'est pas irréductible et ni 6/15, ni 15/6 n'est entier.

Donc il faut que je montre que j'aurai un nombre décimal pour n'importe quelle valeur de n, c'est cela ?

Non, le calcul du quotient p/q ne dit rien sur l'irréductibilité d'une fraction, on a par exemple 6/15 = 0,4 = 2/5, 2/5 est irréductible et pas 6/15. L'irréductibilité ça veut dire qu'on a choisi les plus petites valeurs possibles pour le numérateur et le dénominateur pour représenter le nombre rationnel, et pour le montrer il faut prouver que PGCD(p,q) = 1, autrement dit tout diviseur commun à p et q divise 1 (donc est égal à 1).

Flodelarab : inutile de parler d'algorithme d'Euclide ici, si d divise n et 2n+1 il divise (2n+1) - 2xn...

par **abcd22** » 11 Sep 2006, 19:58

Flodelarab a écrit:Ben si justement!

2 divise 4; 2 divise 8 et 2 divise pas 1 .....

Moi avec mon algorithme d'Euclide, ça marche ....

Ben oui, j'ai dit qu'une fraction était irréductible si et seulement si le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur était un, c'est toi qui as un problème de lecture, et c'est pas la première fois...

par **Quidam** » 11 Sep 2006, 20:06

Flodelarab a écrit:C reductible si le numérateur a un degré supérieur ou égal au denominateur si je ne m'abuse?

Tu t'abuses !

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 20:16

abcd22 a écrit:Ben oui, j'ai dit qu'une fraction était irréductible si et seulement si le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur était un, c'est toi qui as un problème de lecture, et c'est pas la première fois...

probleme de lecture ???
Elle est pas mal celle la!

abcd22 a écrit:il faut montrer qu'il divise 1...

AUCUN entier ne divise 1

probleme de lecture ???
Elle est pas mal celle la!

par **Flodelarab** » 11 Sep 2006, 20:16

Quidam a écrit:Tu t'abuses !

Merci Quidam.

Quelle est la regle complete ?

par **Flyingkiki** » 11 Sep 2006, 20:31

Désolé pour avoir causer autant de soucis :hum:

Je me suis trompé sur le quotient, et pis voilà, j'ai tout faux, mais c'est pas grave :mur: Je vais y réfléchir de nouveau, et merci pour les réponses :)

Je dois donc calculer le PGCD de ces fractions, et montrer qu'il est égal à 1...

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