Sommation de termes

[kadaid]

Bonjour
Voici un exo de terminale 1975 mais je ne sais pas s'il peut être résolu entièrement au niveau terminale S d'aujourd'hui

Démontrer que V(n+1)-V(n) < 1/(2V(n)), n dans IN+ V=racine carrée.
En déduire que la somme S= somme(1/V(p), p de 1 à n ) tend vers l'infini pour n infini

V(n+1)-V(n) = [V(n+1)-V(n) ]*[V(n+1)+V(n)] / [V(n+1)-V(n)] = 1/[V(n+1)+V(n) ]

V(n+1)>V(n) <====> V(n+1)+V(n) > 2V(n) <===> 1/[V(n+1)+V(n) ] < 1/(2V(n))
donc V(n+1)-V(n) < 1/(2V(n))

Pour la somme, je ne vois rien !

Merci pour une aide

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour
Voici un exo de terminale 1975 mais je ne sais pas s'il peut être résolu entièrement au niveau terminale S d'aujourd'hui

Démontrer que V(n+1)-V(n) V(n) V(n+1)+V(n) > 2V(n) 1/[V(n+1)+V(n) ] < 1/(2V(n))
donc V(n+1)-V(n) < 1/(2V(n))

Pour la somme, je ne vois rien !

Merci pour une aide

Salut !
L'exercice est abordable par un/une TS.

Je réécris d'abord l'énoncé pour plus de lisibilité :
Démontrer que , n dans
Ce que tu as fait est globalement bon, même si tu t'es trompé en plein milieu de la première ligne de calculs (une simple erreur de signe sur un dénominateur).
N'oublie pas de justifier tes passages à l'inverse, ainsi que les changements de sens dans tes inégalités.

Nous voulons désormais montrer que
Or ...

[nodjim]

1/2racN > D1 (l'espression de ton exo)
1/2rac(N+1)>D2
...
Le calcul de D1+D2+...est très facile !

[nodjim]

Pour la 1ère question, la simple multiplication par la conjuguée donne immédiatement le résultat.
En 1975, on n'était pas TS, mais TC. Le terme "Mathélem" avait déja disparu.

[Kikoo <3 Bieber]

1/2racN > D1 (l'espression de ton exo)
1/2rac(N+1)>D2
...
Le calcul de D1+D2+...est très facile !

Wé, c'est ce qu'on appelle le télescopage, et c'est la partie intéressante de l'exo, si t'en as jamais fait :p

[Anonyme]

Comme






.....etc.....

En Additionnant toutes ces inégalités , on obtient
?????

Puis, par passage à la limite quand n tend vers +infini, tu vas pouvoir conclure

A toi de remplacer ????? par sa valeur en fonction de n

[kadaid]

Bonjour
V(n+1)-V(n) < 1/(2V(n))
..................................
V(n-k)-V(n-k-1) < 1/(2V(n-k-1))
........................................
V(3)-V(2) < 1/(2V(2))
V(2)-V(1) < 1/(2V(1))

Finalement par somme: 2V(n+1)-2 < somme(1/V(p),p,1,n) et lim 2V(n+1)-2 en +infini = +infini,
par comparaison, somme(1/V(p),p,1,n) tend ver l'infini

Peut être la présentation n'est pas assez correcte...
Merci pour vos aides.