Ln de sinus

[scanf6]

bonsoir a tous, jaurai besoin que quelqun me disent comment resoudre cette integrale:

;)ln(sinx)dx avec l'integrale allant de 0 a pi/2

merci d'avance, veuillez etre un peu explicites dans vos propos pour me faciliter un peu la tache, je vous en serai reconnaissant

[Tom_Pascal]

Bonjour,

Futura-sciences, l'île des maths, maths-forum... au moins 3 forums où tu poste cette même question en moins de 10 minutes... Tu multiplies les chances d'obtenir une réponse ( est-ce une stratégie gagnante ? )

Bon courage.

[scanf6]

voi ca comme tu veut, je cherche juste a resoudre un problemes et ce, le plus vite possible, j'esperais plutot une reponse de ta part

[Jemanden]

bonsoir a tous, jaurai besoin que quelqun me disent comment resoudre cette integrale:

ln(sinx)dx avec l'integrale allant de 0 a pi/2

merci d'avance, veuillez etre un peu explicites dans vos propos pour me faciliter un peu la tache, je vous en serai reconnaissant

Essai un changement de variable en
phi : x -> arcsin (t)
phi^-1 : t -> sin(x)

ça va te donner quelque chose de plus digeste (la dérivée de arcsin = 1/RACINE(1-x²))

[Joker62]

Il me semble que l'on peut la calculer sans passer explicitement par un calcul d'intégrale.

D'ailleurs il ne faut pas chercher loin pour trouver une preuve

http://samm.univ-paris1.fr/IMG/pdf/MASSAnalyseS4_CC1_2010_Corr.pdf (1er lien dans Google)

[Black Jack]

I = S(de 0 à Pi/2) ln(sin(x)) dx (1)

Posons y = Pi/2 - x
dx = -dy

Si x = 0, alors y = Pi/2
Si x = Pi/2, alors y = 0

I = S(de Pi/2 à 0) ln(sin(Pi/2 - x)) * (-dy)
I = - S(de Pi/2 à 0) ln(cos(x)) * dy
I = S(de 0 à Pi/2) ln(cos(x)) * dy
qui revient au même que :
I = S(de 0 à Pi/2) ln(cos(x)) dx (2)

(1) + (2) :

2I = S(de 0 à Pi/2) ln(sin(x)) dx + S(de 0 à Pi/2) ln(cos(x)) dx

2I = S(de 0 à Pi/2) (ln(sin(x))+ln((cos(x))) dx

2I = S(de 0 à Pi/2) (ln(sin(x).cos(x))) dx

2I = S(de 0 à Pi/2) (ln((1/2).sin(2x))) dx

2I = S(de 0 à Pi/2) ln(1/2) dx + S(de 0 à Pi/2) sin(2x) dx

2I = (Pi/2)*ln(1/2) + S(de 0 à Pi/2) ln(sin(2x)) dx (3)
***

S(de 0 à Pi/2) ln(sin(2x)) dx

Poser 2x = z
dx = (1/2) dz

S(de 0 à Pi/2) ln(sin(2x)) dx = (1/2) . S(de 0 à Pi) ln(sin(z)) dz

mais sin(x) est symétrique par rapport à x = Pi/2 ---> S(de 0 à Pi) ln(sin(z)) dz = 2 . S(de 0 à Pi/2) ln(sin(z)) dz

Et donc : S(de 0 à Pi/2) ln(sin(2x)) dx = (1/2) * 2 . S(de 0 à Pi/2) ln(sin(z)) dz = S(de 0 à Pi/2) ln(sin(z)) dz
Qu'on peut évidemment écrire : S(de 0 à Pi/2) ln(sin(2x)) dx = S(de 0 à Pi/2) ln(sin(x)) dx
--> S(de 0 à Pi/2) ln(sin(2x)) dx = I (4)
***
(3) et (4) -->

2I = (Pi/2)*ln(1/2) + I

I = (Pi/2)*ln(1/2)

I = - ln(2) * (Pi/2)
*****
:zen: