Sens de variation (suites)

[Lilly45]

Alors voilà, j'ai un dm vacances qui va compter dans ma moyenne, (je passe en TS)

L'énoncé est le suivant, la suite est définie par une formule de récurrence
u0 = 1
un+1 = ;)(2*un)

(a) Démontrer que pour tout n : un+1 / un ;) 1. Conclure
(b) Vérifier que un+1 - un = ;)(un)*(;)2-;)un). Conclure

Je n'arrive même pas à trouver le terme général de la suite un pour pouvoir faire la démonstration, aidez moi s'il vous plaît
:cry:

[ampholyte]

Bonjour,

Il ne s'agit pas ici de trouver le terme général de la suite mais d'utiliser la récurrence pour démontrer chaque point.

Comment procéder ?

1) On pose l'hypothèse de récurrence

2) On vérifie que l'hypothèse est vérifiée pour n = 0

3) On suppose que l'hypothèse est vraie pour n et on vérifie que c'est vrai pour n + 1

4) On conclut.

Est-ce que cela te rappelle des souvenirs ?

[chan79]

Alors voilà, j'ai un dm vacances qui va compter dans ma moyenne, (je passe en TS)

L'énoncé est le suivant, la suite est définie par une formule de récurrence
u0 = 1
un+1 = (2*un)

(a) Démontrer que pour tout n : un+1 / un 1. Conclure
(b) Vérifier que un+1 - un = (un)*(;)2-;)un). Conclure

Je n'arrive même pas à trouver le terme général de la suite un pour pouvoir faire la démonstration, aidez moi s'il vous plaît

salut


donc vois par récurrence

[Lilly45]

Bonjour,

Il ne s'agit pas ici de trouver le terme général de la suite mais d'utiliser la récurrence pour démontrer chaque point.

Comment procéder ?

1) On pose l'hypothèse de récurrence

2) On vérifie que l'hypothèse est vérifiée pour n = 0

3) On suppose que l'hypothèse est vraie pour n et on vérifie que c'est vrai pour n + 1

4) On conclut.

Est-ce que cela te rappelle des souvenirs ?

Non, ce qu'on faisais en cours, c'est remplacer les un et un+1 par leurs formules générales et on voyait si c'était supérieur ou égal à 1 simplement pour déterminer si la suite est croissante ou décroissante.
Je ne vois pas comment rédiger ce que vous avez écrit

[godzylla]

déjà

donc la question est de savoir si

[Lilly45]

Je vais pas rédiger comme ça, mon raisonnement doit être clair
Ce que je demande c'est pas des réponses mais un raisonnement assez clairement expliqué, s'il vous plaît
Le terme général de la suite c'est un= ;)(2) exposant n

[Lilly45]

J'ai trouvé je viens de tout rédiger
Merci beaucoup pour votre aide à tous :)

[ampholyte]

Voici comment je ferais pour la a) (la question b étant immédiate)

Hypothèse de récurrence : "Pour tout n "

Etape 1 : Vérifions que l'hypothèse pour n = 0 est bonne

Pour n = 0 on a :



Donc c'est vrai pour n = 0

Etape 2 : Supposons que l'hypothèse de récurrence est vrai pour n c'est à dire que ". Montrons que c'est vrai au rang n + 1.

On sait que :



Donc en prenant la racine carrée cela ne change pas le signe de l'inégalité.



C'est donc équivalent à :



C'est également équivalent à :



Donc :



D'où :



On a donc prouvé que si l'hypothèse est vraie au rang n elle est vraie au rang n+1.

Etape 3 : On a prouvé que l'hypothèse est vraie pour n = 0 et et que si c'est vrai pour n alors c'est vrai pour n + 1. L'hypothèse est donc vérifié et on a donc :
"Pour tout n "

edit : ha j'avais lu en prouvant par récurrence.

[Lilly45]

\fra{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\fra{\sqr{2\ u_{n+1}}}{\sqr{2\ u_n}}=\fra{\sqr{ u_{n+1}}}{\sqr{u_n}}=\sqr{\fra{u_{n+1}}{u_n}}

[Lilly45]

Merci Ampholyte pour ton aide,
bonne journée