Récurrence-Suites

[liloo91]

Bonsoir!
Je dois démontrer dans mon exercice qu'une suite est décroissante... Je sais le faire en étudiant le signe de Un+1 - Un mais pas en récurrence... le savez vous? Si oui merci de me le dire! Je ne m'en sors pas!

[Huppasacee]

Vérifions que U1-Uo est négatif, = initiation

Supposons que pour n queconque Un+1 - Un est négatif, alors essayons de montrer que dans ce cas Un+2 - Un+1 est aussi négatif

[liloo91]

Même avec votre solution Je ne m'en sort pas! j'ai: U0= 5 et Un+1= F(Un) (où F(x)= x/ln(x) dont j'ai fait l'étude précédemment)
Donc j'ai Un+2- Un+1<0
donc F(Un+1)-F(Un)<0
Donc F(F(Un))-F(Un)<0

Là je suis bloquée. On sait Que Un>e Peut etre que cela peut aider?

[Huppasacee]

Si c'est une suite définie par récurrence, c'est autre chose !

Tu démontres que ta fonction est croissante

Or lorsqu'une fonction est croissante
si b>= a alors f(b) > = f(a )

Ici Un >= Un+1

Peux tu continuer ( 2 lignes suffiront )

[liloo91]

Je ne comprends pas votre raisonnement... Ce n'est pas par recurrence que vous montrez que Un est décroissante ! ou ai-je mal compris?

[Huppasacee]

As tu montré que f était croissante ?

f est croissante, donc
si Un >= Un+1 alors f(Un ) >= F(Un+1 )
or que sont f(Un ) et f(Un+1) ?

[liloo91]

Oui je l'ai déjà démontré auparavant! J'ai enfin compris! Merci beaucoup!
Dernière question: Justifiez l'égalité f(l)=l (l étant la limite de Un sur l'intervalle ]e; +infini[

[Huppasacee]

Tu as donc démontré auparavant que Un était minorée
une suite décroissante et minorée est convergente et sa limite l est telle que l = f(l)
Ceci est considéré comme acquis pour certaines sections
Dans quelle section es tu ?

[liloo91]

Je suis en S. Oui cette égalité me paraît évidente mais je ne sais pas comment la démontrer...

[Huppasacee]

Soit l la limite de Un quand n tend vers infini

pour un eps aussi petit soit il il existe A tel que n> A entraine :

l-eps < Un < l+eps
f(l-eps)f est une fonction continue
f(l) est donc la limite de f(Un)quand n tend vers l'infini
C'est donc la limite de Un+1
Or Un+1 et Un ont la même limite donc ....

[liloo91]

f(l)=l :D merci beaucoup!!

[Huppasacee]

Bon courage