[Resolu ] raisonnment par l'absurde

[haricot29]

Coucou tout le monde... En ce moment en maths je bosse sur les limites et continuité. J'ai un petit exo a faire où il faut résonner par l'arburde et malheureusement l'absurde et moi on est po copain du tout... Donc si quelqu'un pouvait me filer un coup de pouce SVP [B]! Merci D'avance[/B]
HaRiCoT 29

Exo :
1/ Soit f une fonction définie sur R, admettant une limite l lorsque x tend vers + l'infini et telle que f(x) > ou = 0 pour tout x appartenant à R. Montrer par un raissonnement par l'absurde que l > ou = 0.
2/ En déduire que si g et h sont deux fonctions définie sur R telles que lim g(x)= l quand x tend vers +infini et limh(x)= l' quand x tend vers +infini et g(x) > ou = h(x) pour tout x appartenant à R alors l > ou = l'

[Elsa_toup]

Bonsoir,

1). Raisonnons par l'absurde donc (une idée qui m'est venue ... :zen: ):
On suppose l<0, c'est-à-dire f(x) -> l quand x->+inf.
Donc il existe un a tel que f(x)<0 pour tout x>a.

(ça parait idiot dit comme ça, et peut-être que je n'ai aps l'argument choc, mais essaie de faire tendre une fonction vers une valeur négative sans passer par d'autres valeurs négatives avant...)

C'est en contradiction avec l'énoncé.
Donc l>=0.

2). C'est le même principe.
On suppose lComme g(x)->l, et h(x)->l', il existe a tel que h(a)>g(x), pour a suffisamment grand.
C'est en contradiction avec l'énoncé.
Donc l>=l'.

[BQss]

Bonsoir,

1). Raisonnons par l'absurde donc (une idée qui m'est venue ... :zen: ):
On suppose l l quand x->+inf.
Donc il existe un a tel que f(x)a.

Oui suppose que la f(x) appartient a J(d'apres la definition de la limite il existe un rang "a(J)" à partir du quel tu es dans n'importe quel intervalle J contenant la limite), or J ici est un intervalle negatif donc quelque soit x>a f(x) est negatif ( car compris dans J), ce qui est en contradiction avec l'enoncée car tout f(x) est positif pour tout x.
Donc la lmite est positive.

[BQss]

2/ En déduire que si g et h sont deux fonctions définie sur R telles que lim g(x)= l quand x tend vers +infini et limh(x)= l' quand x tend vers +infini et g(x) > ou = h(x) pour tout x appartenant à R alors l > ou = l'

Pour la 2 utilise le fait que g(x) >= h(x) veut dire que g(x)-h(x)>= 0 pour te ramener a la question precedente. C'est a dire a une fonction positive. Ici ta fonction c'est x-->(g-h)(x).
Comme g-h (x) est positif pour tout x tu sais d'apres la question prescedente que si cette fonction tend vers L alors L>0( et cette fonction etant la difference de deux fonctions ayant une limite finie, elle a bien une limite finie L qui est la difference des deux limites. ). Donc lim(g-h) (x)=lim[g(x)] - lim[h(x)]= l-l'=L > 0 et donc l-l'>0 soit l>l'.

[haricot29]

Supposons lim f(x)= l qd x tends vers +infini, f(x) >= 0 et l<0.
On considére un intervalle J du type ]-infini ; a[ avec a<0 contenant l.
Soit a tel que pour tout x>a, f(x) appartient à J.
Or J ici est un intervalle negatif donc quelque soit x>a f(x) est negatif, ce qui est en contradiction avec l'enoncée car tout f(x) est positif pour tout x.
Donc la lmite est positive.
C'est ok si je rédige la premiere question comme ceci ?
Parce qu'il faut que je le démontre dc...
Merci de vos rep, et merci a ceux d'avant d'avoir rep c'est cool

[haricot29]

Supposons g(x) >= h(x) et limg(x)=l qd x tends vers +infini et limh(x)=l' qd x tends vers + infini.
g(x) >= h(x) <=> g(x)-h(x) >= 0
Soit (g-h)(x) est une fonction positive
D'aprés la question n°1, comme (g-h)(x) est positif pour tout x et que lim(g-h)(x)= L qd x tends vers +infini alors L>0
Donc lim(g-h)(x) =l im[g(x)] - lim[h(x)] = l-l' =L > 0
Donc l-l'>0 soit l>l'.

Voila enfet j'ai repris les 2 propositions qui m'ont été faites plus hautes, mais j'aimerais savoir si la rédaction de ces 2 démonstrations est correct ?! Alors...

[haricot29]

Quelqu'un pour confirmer ma réponse dans sa logique et dans sa rédaction SVP Merci

[haricot29]

Quelqu'un pour confirmer ma réponse dans sa logique et dans sa rédaction SVP Merci :id: :doh:

[BQss]

Quelqu'un pour confirmer ma réponse dans sa logique et dans sa rédaction SVP Merci :id: :doh:

Oui la 1 c'est bien mais la deuxieme il faut que tu expliques pourquoi tu as le droit de faire la difference des limites:
tu dois rediger comme ce que j'ai mis:

Comme g-h (x) est positif pour tout x tu sais d'apres la question prescedente que si cette fonction tend vers L alors L>0( et cette fonction etant la difference de deux fonctions ayant une limite finie, elle a bien une limite finie L qui est la difference des deux limites. ).
Donc lim(g-h) (x)=lim[g(x)] - lim[h(x)]= l-l'=L > 0 et donc l-l'>0 soit l>l'.

Soit(on le suppose pas c'est une donnée, il n'y a plus de demo a faire juste a réutiliser le resultat de 1) ) g(x) >= h(x) et limg(x)=l qd x tends vers +infini et limh(x)=l' qd x tends vers + infini.
g(x) >= h(x) g(x)-h(x) >= 0
donc(consequence de la donnée) (g-h) (la fonction g-h ca s'appelle ou la fonction x-->(g-h)(x), (g-h) (x) c'est autre chose, c'est l'image par g-h d'un x ) est une fonction positive
De plus lim(g-h)(x) existe car lim[g(x)] et lim[h(x)] sont fini, la limite de la difference est donc egale a la difference des limites.
On a donc lim(g-h)(x)=lim[g(x)] - lim[h(x)]=l-l'=L
Or d'aprés la question n°1, comme (g-h)(x) est positif pour tout x et que lim(g-h)(x)= L qd x tends vers +infini alors L>0
Donc lim(g-h)(x) =lim[g(x)] - lim[h(x)] = l-l' =L > 0
Donc l-l'>0 soit l>l'.

[haricot29]

Merci BEAUCOUP c'est cool de ta part