Pythagore démontrer l'égalité

[lilas123]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide car je n'arrive pas à comprendre ce qu'on demande dans ce devoir, j'ai réussi à faire le n° 2 (je n'arrive pas à afficher le carré c'est pour cela que j'ai marqué en entier.
Merci, même un petite indication pour me mettre sur la voie.

1) Supposons qu’on a trouvé trois nombres entiers a, b et c qui vérifient l’égalité de Pythagore, c’est-à-dire :
a2 + b2 = c2.

(a) Soit n un nombre entier quelconque. Démontrer que les entiers na, nb et nc vérifient eux aussi l’égalité de Pythagore.
(b) Soit d un diviseur de a, b et c. Démontrer que les entiers a/d , b/d et c/d vérifient eux aussi l’égalité de Pythagore

2) Démontrer que 3, 4 et 5 vérifient l’égalité de Pythagore.
On a un triangle dont les côtés sont de longueur 3,4,5
(Pour savoir s'il est rectangle on doit trouver parmi ces "égalités", si l'une est vraie :

3 au carré=4 au carré +5 au carré on a 9 = 16 + 25 résultat 41 l’égalité est fausse
4 au carré =3 au carré+5 au carré on a 16 = 9 + 25 résultat 34 l’égalité est fausse

5 au carré=3 au carré+4 au carré on a 25 = 9 + 16 résultat 25 l’égalité est vraie

La dernière égalité étant vraie, le triangle est rectangle au sommet qui n'est pas une des extrémités du côté de longueur 5.


3) On considère ABC un triangle tel que AB = 9 cm. En utilisant la question 1)(a) et 2), déterminer les deux autres longueurs entières pour qu’il soit rectangle en C.

[Sa Majesté]

1) Supposons qu’on a trouvé trois nombres entiers a, b et c qui vérifient l’égalité de Pythagore, c’est-à-dire :
a2 + b2 = c2.

(a) Soit n un nombre entier quelconque. Démontrer que les entiers na, nb et nc vérifient eux aussi l’égalité de Pythagore.

Il faut montrer que (na)²+(nb)²=(nc)²

[lilas123]

En fait je mets cela :

(a) Soit n un nombre entier quelconque. Démontrer que les entiers na, nb et nc vérifient eux aussi l’égalité de Pythagore.

Si l’on connait un triplet Pythagoricien (a, b, c), alors le triplet (na, nb, nc) où n est un entier est lui aussi Pythagoricien dont on a : (na)² + (nb)² = (nc)²

Théorème
(a ; b ; c) est un triplet pythagoricien, si et seulement, si pour tout n ∈ N, (na ; nb ; nc) en est aussi un.
Exemple 2c² = 2b² + 2a²

Merci pour la réponse, en fait il faut démonter le théorème.

[lilas123]

Est ce que vous avez une petite idée concernant le point 3) ?

Merci

[WillyCagnes]

bjr
(a)²+(b)²=(c)²

en multipliant par n² on obtient la nouvelle égalité
(na)²+(nb)²=(nc)²

AB=9 soit n*3 d'où n= 9/3 =3
en utilisant la relation 3²+4²=5²
BC= 4*3 = 12
AC= 3*5 = 15

verifions
9²+12²=225=15²

[lilas123]

Merci beaucoup pour cette réponse très claire, je n'avais pas réussi à trouver ce résonnement. Je viens de comprendre. Merci, bonne journée.

[lyceen95]

A un moment, tu écris : (a ; b ; c) est un triplet pythagoricien, si et seulement, si pour tout n ∈ N, (na ; nb ; nc) en est aussi un.

Bon, c'est exact, je ne vais pas dire le contraire. Mais ce n'est pas du tout ce qui est attendu.
Dans le même genre de Lapalissade : (a,b,c) est un triplet pythagoricien si et seulement si (b,a,c) en est aussi un.

[lilas123]

Oui c'est vrai qu'est ce qu'il faudrait mettre

[lilas123]

Je reprends cela :

Si (a)² + (b)²= (c)² En multipliant par n² on obtient la nouvelle égalité (na)²+(nb)²=(nc)²

[triumph59]

Bonsoir,

Si le triangle ABC est rectangle en C, alors l’hypoténuse est le côté AB et doit être le côté le plus long ?

[lilas123]

Effectivement, s'il faut qu'il soit rectangle en C la démonstration ne tient plus .....

3) On considère ABC un triangle tel que AB = 9 cm. En utilisant la question 1)(a) et 2), déterminer les deux autres longueurs entières pour qu’il soit rectangle en C.
AB= 15 , AC = 9 et CB = 12 là c'est rectangle en C , mais c'est AC qui est égal à 9
Y a erreur ou je comprends plus rien...

[fatal_error]

slt,

je sais pas trop coment réutiliser 1a)
mais tu peux toujours tenter: l'hypothènuse est le côté le plus long du triangle.
donc au plus, AC et BC valent 8.
tu prends tous les carrés: 1,4,9,16,25,36,49
et tu regardes toutes les combinaisons possibles. (7*7 possibilités)
comme on est un peu paresseux, comme on sait que la somme doit faire 81 et que la somme est symétrique, on peut prendre pour AC les candidats pair et BC les candidats impair (vu que deux nombre de même parité donnent un nombre pair et 81 est impair)
donc {4,16,36} X {1,9,25,49 }
on peut éliminer 4,16,1,9 a vue de nez, et on considère {16,36} X {25,49}
16+25 = 41 != 81
16 + 49 = 65 != 81
36 + 25 = 61 != 81
36+49 = 85 != 81
conclusion: il n'existe pas de triangle rectangle, dont les côtés sont entiers et d'hypothènuse de longueur 9.

On peut en revanche noter que si on ENLEVE la contrainte des longueurs entières alors on peut considérer le triangle (3,4,5) et multiplier tout le monde par 9/5 , du coup on a des triangles semblables (collèges) et ton triangle résultat est tjs rectangle mais cette fois d'hypothènuse de longueur 9. (27/5, 36/5, 9)

par rapport à ta question 3, je pense qu'il faut suivre willyCagnes et considérer qu'il y a une erreur d'énoncé. Il faut considérer AC = 9 et non pas AB=9 (et du coup on peut cette fois utiliser la prop 1a))

[lilas123]

A moins que l'erreur soit que le triangle est rectangle en B et non en C.

[lilas123]

Par rapport à la question 3, si on enlève les contraintes de nombres entiers , je ne retrouve pas 9

45/5 = 9 27/5 = 5,4 et 36/5 = 7,2 7,2 + 5,4 = 12,6

[fatal_error]

c'est bien d'avoir tenté de vérifier, mais t'as mal appliqué pythagore.

[lilas123]

J'ai vraiment du mal avec cet exercice

[fatal_error]

apparemment tu veux vérifier si le triangle de dimensions (27/5, 36/5, 9) est rectangle avec l'hypothènuse de longueur 9.
Soit AB = 27/5, BC = 36/5, AC=9, si le triangle est rectangle en B, alors d'après pythagore on doit avoir
Calcul de AB^2+BC^2:


Calcul de AC^2:


Donc donc le triangle est bien rectangle en B

[lilas123]

Merci pour les réponses. Je vois qu'il y a une erreur dans l'énoncé. Donc je mets rectangle en B (et non en C comme dans l'énoncé).
Merci