Problème maths pyramide

[Ma1817]

Bonsoir à tous,
J'ai un dm de maths à faire et je n'arrive pas à le résoudre. J'aurai besoin de votre aide ! Le voici :
SABCD est une pyramide à base rectangulaire
(ABCD --> base et S sommet de la pyramide)
On sait que SA=4, SB=5, SC=6.
Trouver combien vaut SD.
(On ne connaît pas la hauteur ni combien vaut les côtés de la base)
Merci d'avance pour votre aide !

[Ben314]

Salut,
Ca me semble un peu bizarre qu'on puisse conclure avec aussi peu d'information (tu as rien d'autre ?)

Si on prend un repère centré en D et dont les eux premier axes sont les droites (DA) et (DC) alors
D:(0,0,0) ; A:(a,0,0) [où a=largeur du rectangle] ; C:(0,c,0) [où c=longueur du rectangle] ; B:(a,c,0) et S:(x,y,z)
Tes 3 infos concernant les distances donnent 3 équation concernant les 5 réels a,c,x,y,z et il faut ensuite regarder si, avec ça, tu arrive à en déduire la valeur de la longueur SD (avec 3 équations et 5 inconnues, c'est pas gagné, mais c'est pas impossible...)

[Ma1817]

Merci Ben314 pour ton aide ! Je vais essayé de me débrouiller avec ce que tu m'as dit !

[Ben314]

En fait (et étonnement), ça marche et on peut même prouver de façon plus générale que dans une pyramide à base rectangulaire SABCD, on a systématiquement SA²+SC²=SB²+SD².
Et il doit sûrement y a avoir un moyen bien plus simple (i.e. sans passes par le système d'équation qui se simplifie miraculeusement) de prouver ce résultat.

[jlb]

Théorème de Pythagore!

[Ben314]

Théorème de Pythagore!

Ben justement, je vois pas bien comment tu l'utilise ici sans introduire les dimensions du rectangle qui vont "miraculeusement" disparaître à la fin.
Tu peut détailler ?

[Ma1817]

Effectivement, je ne comprends pas comment c'est possible d'utiliser Pythagore.

[Ben314]

Effectivement, je ne comprends pas comment c'est possible d'utiliser Pythagore.

Oui et non : je pense (enfin... j'espère) que tu as écrit que, avec les notations de mon post précédent (*) on a

Et en fait, cette "formule" pour calculer la distance d'un point à un autre de l'espace de dimension 3, c'est la formule de Pythagore un peu "revisitée".
Ma question (à JLB), c'était de savoir s'il avait un moyen plus simple que celui là, (en particulier ne faisant éventuellement pas intervenir les dimensions du rectangle) pour répondre au problème.

Sinon, concernant la méthode (pas jolie) qui marche, tu écrit les 2 autres équations données par l'énoncé, puis évidement tu les élève au carré (pour virer les racines) puis tu doit constater qu'en les ajoutant/soustrayant de façon astucieuse, tu va en déduire la valeur de qui est le carré de la distance se S à D.

(*) Attention, j'ai changé d'avis en cours de route et j'ai pris finalement D comme centre du repère.

[Lostounet]

Vous faites quel chapitre ?
Produit scalaire dans l'espace potentiellement... ?

[pascal16]

Soit H le plan perpendiculaire à (BC), perpendiculaire à ABCD et passant par S.

si on projette SBC sur sur plan et SAD sur ce plan, on a le résultat en 2 lignes. Pour expliquer pourquoi les projections marchent, il faut bcp d’explications.

[Ma1817]

Je n'ai pas trop compris la formule "revisitée"

[Ma1817]

Vous faites quel chapitre ?
Produit scalaire dans l'espace potentiellement... ?

Nous faisons les fonctions ! Ce qui n'a absolument rien avoir !

[jlb]

Sauf erreur, tu projettes le sommet S de la pyramide en point H sur le plan contenant la base rectangulaire et tu obtiens avec th de Pythagore SA²+SC²= 2SH²+HA²+HC², idem pour SB²+SD² et tu réécris HA²,HB²,HC²,HD² avec le th de Pythagore en utilisant les projections de H sur les support des cotés du rectangle. Et hop, c'est magique!

[Lostounet]

Je n'ai pas trop compris la formule "revisitée"

Bon il va falloir nous dire tu es en quelle classe, et ce que tu connais comme outils...
Tu as fait l'année dernière le chapitre de géométrie dans l'espace? Le produit scalaire?

La formule de Pythagore dans un repère de l'espace?

[jlb]

Lostounet a répondu en même temps que moi, je ne sais pas si vous avez "rencontré ma réponse"! Voir au dessus. En gros, c'est la même démarche mais sans système ni coordonnées.

[nodgim]

En fait, il n'y aucun calcul à faire, ou presque.

Le carré du trajet d'un coin de la base jusqu'au sommet est égal à la somme des carrés des trajets qui suivent les axes Ox, Oy et Oz. En comparant le trajet ASC avec BSD, l'égalité qui a été relevée est immédiate.

[Ben314]

Sinon, pour une preuve ne faisant (quasiment) pas intervenir les dimensions du rectangle (ni la dimension de l'espace), par simple développement des carrés (scalaires), on a :
où est le milieu de
Et comme est aussi le milieu de et que on conclue bien que .
Et cela montre en fait que, pour 4 points A,B,C,D d'un espace euclidien E de dimension quelconques, il y a équivalence entre le fait que ABCD soit un rectangle et le fait que,pour tout S de E on ait SA²+SC²=SB²+SD².