Points Coplanaires

par **Anonyme** » 16 Nov 2005, 20:55

Voila je suis nouveau alors bonjour a vous tous
Je me presente je suis en première ES et j'ai option math
voila j'ai une question sur la géométrie plane
Je ne comprend pas comment montré que 4 points sont coplanaires
merci beaucoup pour les réponses futures

par **fonfon** » 17 Nov 2005, 11:32

Salut, soit un plan (P) défini par trois points non alignés A,B,C.Les vecteurs AB(->) et AC(->) ne sont pas colineaires.On dit que (A,AB(->),AC(->) est un repère du plan (P).
L'ensemble des points M de l'espace tq' il existe un couple de nb réels (a,b) pour lequel AM(->)=aAB(->)+bAC(->) est le plan (P)

on a la def. suivante:Etant donné un plan (P), on appelle couple de vecteurs directeurs de (P) tt couple (u(->),v(->)) de vecteurs non colineaires.

ex:si u(->)=AB(->),v(->)=AC(->) et si M est un point quelconque du plan (P),les vecteurs AM(->),AB(->),AC(->) sont dit COPLANAIRES.
soit A,B,C,M appartiennent à (P).

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 12:29

c'est compris merci et avec des coordonées de points comment fait-ont

par **fonfon** » 17 Nov 2005, 13:38

Re, l'exemple que je te donne et pour montrer que 4 points ne sont pas coplanaires mais pour montrer que 4 points st coplanaire c'est le même principe.

Soit A(8,0,8), B(10,3,10), C(-5,1,0), D(-2,3,-2)

la doite D qui passe par A et qui a pour vecteur directeur AB(->)de coord.(2,3,2) a pour equ. parametrique:

x=xA+2t
y=yA+3t
z=zA+2t

soit

x=8+2t
y=3t
z=8+2t , t ds R

D a pour syst. d'equation le système ci-dessus:

la droite D1 , passe par C et a pour vect. dir. CD(->)=(3,2,-2),a pour syst. d'equation(idem que pour D)

x=-5+3s
y=1+2s
z=-2s ,s ds R

Mq que D et D1 ne sont pas coplanaires.
Si les dtes D et D1 etaient coplanaires alors A,B,C,D ds un même plan.

on prend le point A par ex et on verifie que ses coord. ne verifient pas le syst. d'equation de D1.On prend A et on verifie ses coord ds le 2e syst.
soit
8=-5+3s
0=1+2s
8=-2s

la 3e equ. donne s=-4 etla 2e equ. donne s=-1/2 impossible dc A,B,C,D non coplanaires.

En resume tu cherches les equ. paramétrés de 2 dtes ,pour que les points soient coplanaires il faut qu'ils verifient le système de chaque droite

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 15:50

C'est quoi t?

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 15:57

désolé du double poste mais je n'arrive pas à faire des équations comme celle çi

par **fonfon** » 17 Nov 2005, 17:36

Desolé,je n'avais pas vu que tu etais en 1ere es:

pour que tes points soient coplanaires il faut que tu arrives à exprimer un vecteurs en fct des autres cad trouver une combinaison lineaire entre les vecteurs exprime tes vecteurs tu auras ta combinaison immediatement
AM(->)=aAB(->)+bAC(->) AM(->)=(xM-xA,yM-yA) idem pour les autres

sinon pour repondre à ta question t est une variable,je ne sait pas si tu verras les equations paramétrés en es.Donc ne t'en occupe pas

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 18:08

tien je te passe la question car c'est trop complexe
On considère 4 points de l'espace:
A(0;0;3),B(5;0;4),C(5;5;1) et D(1;2;2)
Montrer que les points A,B,C et D sont coplanaires

par **rene38** » 17 Nov 2005, 18:22

Bonjour

Calcule les coordonnées de 2 vecteurs, par exemple

et vérifie qu'il existe 2 réels

et

tels que

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 18:24

bonjour
oui je sais mais comment calcule t-on a et b
merci

par **rene38** » 17 Nov 2005, 19:07

shu_sama a écrit:bonjour
oui je sais mais comment calcule t-on a et b
merci

Coordonnées des vecteurs :

soit

donc

La seconde coordonnée donne b=5/2 ; une autre coordonnée donne a=1/2 ce qui est confirmé par la dernière coordonnée.

Pn a donc

ce qui prouve que dans le plan repéré par

le point C a pour coordonnées

Les 4 points sont donc coplanaires.

Si la phrase soulignée était fausse, les 4 points ne seraient pas coplanaires.

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 19:22

Merci infiniment pour ces explications clair
mzis je voudrais savoir pourquoi met avoir choisi les vecteurs AB AC et AD au lieu de BC CD etc
merci encore

par **rene38** » 17 Nov 2005, 19:31

shu_sama a écrit:Merci infiniment pour ces explications clair
mzis je voudrais savoir pourquoi met avoir choisi les vecteurs AB AC et AD au lieu de BC CD etc
merci encore

Parce-qu'il fallait bien choisir quelque chose !
3 points sont toujours coplanaires. S'ils ne sont pas alignés, ils forment un repère du plan qui les contient (et même plusieurs repères selon l'ordre choisi)
J'ai fait la démonstration avec le repère

mais on aurait parfaitement pu choisir le repère

en montrant que

par **Anonyme** » 17 Nov 2005, 20:31

ok merci j'ai compris

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