Petit coup de pouce sur DM polynôme du second degré...

[Formula2002]

Bonjour à toutes et à tous,

Je débute mon année de Terminale S par un DM plutôt corsé et j'avoue que je sèche un peu dès la deuxième question. Est-ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la voie avec des conseils ou un petit exemple du même genre (je ne cherche pas un corrigé de mon devoir) ? Jusque-là, je pense avoir compris qu'il fallait calculer le Delta, mais ensuite je ne vois plus du tout...

Je vous montre le sujet entier ici, et c'est donc la question 2 qui m'occupe actuellement :



Merci beaucoup pour votre aide !

[lyceen95]

Au départ, tu as une équation dont l'inconnue est x : mx²+(m-1)x+4=0
On se pose des questions : cette équation a-t-elle 0, 1 ou 2 solutions.
Tu l'as dit, il y a du DELTA dans l'air.
On va donc calculer DELTA.
Et pour cette question 2, il faut donc dire dans quel cas DELTA est nul.
Ca te donne une autre équation du 2nd degré à résoudre. Mais dans cette nouvelle équation, l'inconnue n'est plus x, c'est m.
A toi d'écrire cette 2ème équation, et de la résoudre.

[titine]

Tu veux que l'equation mx^2 + (m-1)x + 4 = 0 est une seule solution.

1) si m=0 l'équation devient -x + 4 = 0 qui a une seule solution 4

2 si m est différent de 0, c'est une équation du second degré. Cette équation aura une seule solution si son discriminant est égal à 0.
Tu calcules delta et tu cherches pour quelle(s) valeur(s) de m il vaut 0.

[Formula2002]

Une fois que j'ai calculé DELTA, j'obtiens : m^2 - 18m + 1

Pour que le trinôme admette une ou plusieurs racines, DELTA doit être supérieur ou égale à 0.

Comme vous l'avez dit, l'inconnu devient m donc je calcule cette fois-ci DELTA(m)= b^2 - 4ac = 320

320 supérieur à 0 donc admet 2 solutions. C'est à ce stade que je bloque puisque j'obtiens des réponses un

peu loufoques lorsque que je calcule m1 et m2

[lyceen95]

Des valeurs loufoques... il n'y a pas des nombres loufoques et des nombres sérieux, tous les nombres sont aussi sérieux les uns que les autres. Mais tu as raison, au lycée, on n'a pas l'habitude de voir des solutions avec des racine(467) ou des trucs du genre.
Donc tu as le bon réflexe, tu te dis que tu t'es planté quelque part.

Comment es-tu arrivé à Delta=m²-18m+1 ?

[Formula2002]

Une fonction du second degré est définie par : ax^2 + bx + c = 0
J'ai repris la formule donnée dans l'énoncé et j'ai calculé DELTA = (m-1) ^2 - 4*m*4 = m^2 - 18m + 1

J'ai repris cette formule et j'ai calculé DELTA (m) = 320 et j'ai donc calculé les 2 racine m1 et m2 .

J'ai obtenu: m1= 9 - 4racinede5 et m2 = 9 + 4racinede5

[titine]

Ça m'a l'air exact.
Donc l'équation a une solution unique si m = 9 - 4racinede5 ou si m = 9 + 4racinede5 ou si m = 0

[Formula2002]

Merci beaucoup pour votre aide! Serait-il possible de me donner quelques indices pour la question 3, le reste étant normalement faisable?

[lyceen95]

Oui, en faisant les calculs de tête, j'avais trouvé autre chose, mais ok pour Delta = m²-18m+1 ... et donc ok pour les valeurs 'loufoques' à la fin.

Pour la question 3, on nous dit : Il y a certaines valeurs de x pour lesquelles, peu importe la valeur de m, f(x) vaut toujours la même chose.

f(x) = mx²+(m-1)x+4
On peut aussi l'écrire : f(x) = m(x²+x) -x+4
Et là, tu devrais trouver la solution.

[titine]

Si tu ne vois pas tu peux t'aider de Geogebra

[lyceen95]

Non.
On te demande : dans quel cas m(x²+x) -x+4 ne dépend-il pas de m ?

Le seul truc qui est inhabituel, c'est que la variable, ce n'est pas x, mais m. C'est ça le piège. Remplace les x par des a par exemple, peut être que tu seras plus à l'aise.

[Formula2002]

J'ai beau essayer, je ne comprend pas du tout ce que je dois faire..

[LB2]

La méthode de lycéen95 fonctionne (dériver l'expression par rapport à m et résoudre = 0) mais on peut procéder également comme ceci :

que se passe-t-il géométriquement?
On étudie ici une famille de paraboles P_m, dépendant du paramètre m. (en fait, quand m=0, c'est une droite, mais c'est une exception).

Cela veut dire qu'au lieu de regarder une seule parabole (par exemple P_1), on regarde une INFINITE de paraboles, chacune correspondant à une valeur de m.
Changer la valeur de m va changer la forme de la parabole.
La question 3. te demande de démontrer que même si les paraboles changent de forme, elles passent toutes par deux points fixes (qui ne dépendent pas de m).

Tu peux procéder ainsi (je propose 2 méthodes)
1) Graphiquement : Trace différentes courbes correspondant à différentes valeurs de m, à la calculatrice graphique ou avec Geogébra https://www.geogebra.org/m/G8Fs6ybQ, et conjecture ainsi les coordonnées de ces deux points fixes D et E.
Ensuite, une fois que tu as leurs coordonnées, démontre que pour tout m donné, D et E appartiennent à la parabole P_m.

2) Par le calcul : Détermine l'équation de P_4 (tu en auras besoin par la suite) et l'équation de P_0 (qui est en fait une droite). Et calcule l'intersection des deux courbes. Tu obtiens normalement deux points, qui sont effectivement D et E. Il faut à ce stage faire la même chose qu'en 1 : démontre que pour tout m donné, D et E appartiennent à la parabole P_m.

Est-ce plus clair ainsi ?