Orthogonalisation de Gram-Schmidt

[juju78]

Bonjour j'ai un probleme avec ce procédé, je sais juste qu'il sert a transformer une base F={v1,v2,v3} en une base orthonormé {e1,e2,e3} mais je n'ai pas trop compris comment faire.

Voici mon exo : v1=(1 1 1 1) v2=(1 0 1 0) et v3= (1 0 1 -1)
(la jai ecrit leur transposé normalement c'est une colonne et 4 lignes)

On a montré precedemment que {v1,v2,v3} était une base de E

et on a calculé ||v1|| qui est égal à 2


on me demande alors :

On note e1= v1 \ ||v1|| et w2= v2 e1

Calculer , En déduire le vecteur unitaire e2 orthogonal à e1, et poursuivre ce procédé d orthonormalisation pour construire une base orthonormée {e1,e2,e3} de E

j'aimerais savoir si les formules quils donnent au départ a savoir "On note e1= v1 \ ||v1|| et w2= v2 e1" sont à utiliser à chaque fois pour ce procédé, c'est une formule générale ?

[Clembou]

Bonjour,
tout d'abord je ne crois pas que le forum lycée soit le plus appropriée pour Gramm Schmidt.
Sinon pour faire Gramm Schmidt en général c'est très simple.
Tout d'abord e1=v1 (tu peux diviser par la norme tout de suite mais je préfère faire les calculs des vecteurs et diviser chacun par sa norme à la fin)
ensuite tu pose e2= et comme tu veux une base orthogonale pour le moment c'est à dire donc d'où e2=(-1,1,-1,1) ensuite tu pose e3= et tu recommences etc...
Quand tu as tous les vecteurs tu les divises par leurs normes et c'est fini!!

Déjà, il faut savoir ce que c'est un produit scalaire et une norme. Si

et alors et

Ensuite, l'algorithme de Gramm-Schmidt est le suivant :

On prend , on calcule la norme de et on a :
Ensuite, , on calcule la norme de et on a :
Pour avoir , il faut calculer . On calcule la norme de et

Cette méthode, on ne l'apprend que en deuxième année de licence.

[juju78]

Ok merci :)