Nombre imaginaire besoin d'explication

[rosalya]

Bonjour,

je suis actuellement en train de faire un exercice mais j'aurais besoin d'aide. Voici l'énoncé:

On considère dans C l'équation (E):

z^3 - (2 + 2i)z² + (2 + 4i)z - 4i = 0

1. Je dois démontrer que z = 2i est une solution imaginaire pure de l'équation (E).
Pour cette question je n'ai pas eu de problème.

2. Je dois déterminer par les réels a, b et c tels que, pour tout z complexe :
z^3 - ( 2 + 2i)z² + (2 + 4i)z - 4i = (z + 2i)(az²+bz+c)

Pour cette question j'ai essayée de développer la deuxième partie de mon équation, mais je suis face à un "blocage" dans mon développement, et je ne peux plus avancer.

3. Enfin je dois résoudre mon équation (E).
Ai-je eu raison d'appliquer la formule de delta = b² - 4ac ?

Merci beaucoup pour votre aide.

[WillyCagnes]

bjr
z^3 - ( 2 + 2i)z² + (2 + 4i)z - 4i = (z + 2i)(az²+bz+c)

developpe
(z + 2i)(az²+bz+c)
et tu regroupes les termes de même degré et tu ordonnes les degrés et tu identifies terme à terme
a=1
...

juste une remarque z=2i est solution
donc tu dois avoir un facteur (z-2i) dans ton expression.

[rosalya]

bjr
z^3 - ( 2 + 2i)z² + (2 + 4i)z - 4i = (z + 2i)(az²+bz+c)

developpe
(z + 2i)(az²+bz+c)
et tu regroupes les termes de même degré et tu ordonnes les degrés et tu identifies terme à terme
a=1
...

juste une remarque z=2i est solution
donc tu dois avoir un facteur (z-2i) dans ton expression.

mon développement donne:

z x az² + z x bz + z x c + 2i x az² - 2i x bz - 2i x c

je dois donc ordonner les degrés et identifier terme à terme, suis-je sur la bonne voie?

je n'ai pas compris votre remarque.

[mathelot]

On considère dans C l'équation (E):

z^3 - (2 + 2i)z² + (2 + 4i)z - 4i = 0

1. Je dois démontrer que z = 2i est une solution imaginaire pure de l'équation (E).

posons





par soustraction des deux égalités il suffit de factoriser

[rosalya]

posons





par soustraction des deux égalités il suffit de factoriser

comment aboutir a cela?

[rosalya]

dans mon développement j'ai finis par aboutir à :

az^3 + bz² + 2iaz² + zc - 2ibz - 2ic

j'ai regrouper les termes ensembles,

je cherche désormais comment a partir de mon développement je peux trouver

z^3 - ( 2 + 2i )z² + ( 2 + 4i )z-4i

Pouvez vous m'aider?

[rosalya]

après quelque minutes de reflexion, j'ai trouvée


az^3 + z² ( -2ia+b) + z ( c-2ib) - 2ic

avec

a =1
b= 2
c = 2?

[WillyCagnes]

az^3 + z² ( -2ia+b) + z ( c-2ib) - 2ic

à identifier avec
z^3 - ( 2 + 2i )z² + ( 2 + 4i )z-4i

on identifie les coef devant z
a=1
(-2ia+b)= -(2+2i)
(c-2ib) = (2+4i)
-2ic= -4i

à toi de resoudre le systeme pour trouver a,b,c

[rosalya]

az^3 + z² ( -2ia+b) + z ( c-2ib) - 2ic

à identifier avec
z^3 - ( 2 + 2i )z² + ( 2 + 4i )z-4i

on identifie les coef devant z
a=1
(-2ia+b)= -(2+2i)
(c-2ib) = (2+4i)
-2ic= -4i

à toi de resoudre le systeme pour trouver a,b,c

sayez j'ai trouvée!!
a = 1
b = -2
c = 2

merci beaucoup!

mais j'aimerais avoir plus d'aide sur la facon de résoudre l'équation (E) dans le complexe C s'il vous plait