DM Maths - Parabole

[Anonyme]

Alors voilà l'exercice qui me pose problème . Désolé je n'ai pas de scanner donc je peux pas vous scanner la figure .

Exercice 5 :
P est la parabole qui passe par le point A(1;4) et qui coupe l'axe des abscisses en 2 et -1 .
1) Déterminer l'équation de P .
2) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de P et de la droite D d'équation y=5x+2 .
3) Retrouver par le calcul les résultats obtenus à la deuxieme question .
4) Préciser à l'aide d'une résolution algébrique la position relative de D et de P.

D'après la figure , les coordonnées des points d'intersection sont B(-1;0) et C(2;0) .

Donc pour la question 1) , je sais que l'équation d'une parabole est égale à y=ax²+bx+c et que jdois remplacer par les coordonnées de A , B et C mais j'vois pas du tout comment on doit faire :hein: .
Pour la question 2) , les coordonées des points d'intersection de P et de D sont E(-2;-8) et D(0,5;4,3) d'après la figure . Mais coment faire pour les retrouver par le calcul pour la question 3) ?!
Et pour la question 4) je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer .

Merci d'avance pour votre aide :we:

[Noemi]

y = ax^2+bx+c
Tu remplaces les coordonnées des points
Pour A(1;4) : 4 = a+b+c
Pour B(2;0) : 0 = 4a+2b+c
Continue avec C(-1 ;0)

Tu obtiens un système qu'il te faut résoudre.

[Quidam]

je sais que l'équation d'une parabole est égale à y=ax²+bx+c et que jdois remplacer par les coordonnées de A , B et C mais j'vois pas du tout comment on doit faire

On va poser f(x)=ax²+bx+c
Déjà, tu sais que f(-1)=0 et que f(2)=0. Tu peux en déduire quelque chose non ?

Mais coment faire pour les retrouver par le calcul pour la question 3)

Evidemment, cela suppose que tu connais désormais la valeur des trois coefficients a, b et c. Tu dois les trouver avec la question 1.
"la droite D d'équation y=5x+2 ". Posons g(x)=5x+2
Si la droite et la parabole se coupent en un point d'abscisse x, cela veut dire que f(x)=g(x) non ?
Alors résouds l'équation f(x)=g(x) !

Et pour la question 4) je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer .

4) Préciser à l'aide d'une résolution algébrique la position relative de D et de P.

Il s'agit de dire, selon les valeurs de x, si la parabole se trouve au dessus de la droite (f(x)>g(x)) ou en dessous (f(x) g(x)

Facile tout ça !

[johnjohnjohn]

Donc pour la question 1) , je sais que l'équation d'une parabole est égale à y=ax²+bx+c et que jdois remplacer par les coordonnées de A , B et C mais j'vois pas du tout comment on doit faire :hein: .

Il faut exploiter toutes les informations qu'on t'a données.

Ta courbe passe par A(1,4). A vérifie donc l'équation y=ax²+bx+c
donc 4= a.(1)² + .....

Ta courbe courbe coupe deux fois l'axe des abscisses donc

(-1,0)
0=a(-1)² + b(-1) +c
(2,0)
0= a(2)² +


Tu obtiens un système de 3 équations et tu as 3 inconnues.

Pour la question 2) , les coordonées des points d'intersection de P et de D sont E(-2;-8) et D(0,5;4,3) d'après la figure . Mais coment faire pour les retrouver par le calcul pour la question 3) ?!
Et pour la question 4) je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer .

c'est quoi ce point à 4 coordonnées ?? D(0,5,4,3)

Le calcul est tout à fait analogue à la question 1.

Fais nous la 1 déja, on voit pour la suite

[Anonyme]

C'est pas 4 coordonnées , c'est D(0,5;4,3) les nombres ne sont pas entiers .

Merci pour votre aide , je vais essayer et je vous dit quoi après :we:

[Anonyme]

Pour la question 1) je trouve comme système :
4= a+b+c
0= 1a-1b+c
0= 4a+2b+c

Mais jvois toujours pas comment faire pour résoudre le système :mur:

[Billball]

L1 : 4 = a+b+c
L2 : 0 = 1a-1b+c
L3 : 0 = 4a+2b+c

Si ton système est le suivant (j'ai pas vérifié ce que tu as fais avant :hein: ) :
L1 - L2 : 4 = 2b <=> 2 = b

[Anonyme]

Je comprends pas ton raisonnement :hein:

[Quidam]

Pour la question 1) je trouve comme système :
4= a+b+c
0= 1a-1b+c
0= 4a+2b+c

Mais jvois toujours pas comment faire pour résoudre le système :mur:

Oui ! C'est une méthode générale qui marche toujours !
Si l'on cherche l'équation d'une parabole passant par trois points (x1;y1), (x2;y2) et (x3;y3), on sait que la parabole a pour équation y=ax²+bx+c et par conséquent :
Dire que la parabole passe par (x1;y1) c'est dire que y1=ax1²+bx1+c
Dire que la parabole passe par (x2;y2) c'est dire que y2=ax2²+bx2+c
Dire que la parabole passe par (x3;y3) c'est dire que y3=ax3²+bx3+c

On a donc un système de trois équations à trois inconnues qui sont a, b et c. Dans ton cas :
Dire que la parabole passe par (-1;0) c'est dire que 0=a(-1)²+b(-1)+c
Dire que la parabole passe par (2;0) c'est dire que 0=a(2)²+b(2)+c
Dire que la parabole passe par (1;4) c'est dire que 4=a(1)²+b(1)+c

Soit finalement :
a-b+c=0
4a+2b+c=0
a+b+c=4

Donc, sur les bons conseils de johnjohnjohn, tu as correctement écrit ton système. Il te reste à le résoudre, c'est-à-dire à trouver a, b et c !

Je suppose que tu es en première. A ce niveau on sait résoudre les systèmes de 3 équations et 3 inconnues ! Une méthode parmi d'autres, est de faire des éliminations successives. Par exemple, de la première des trois a-b+c=0 tu peux tirer a=b-c et tu peux ensuite remplacer a dans les deux autres équations par cette expression (b-c) !
Ca donnerait :
4a+2b+c=0 qui deviendrait 4(b-c)+2b+c=0 soit 6b-3c=0 ou encore 2b-c=0
et
a+b+c=4 qui deviendrait (b-c)+b+c=4 soit 2b=4
A ce moment tu es en présence de seulement deux équations avec seulement deux inconnues ! Ca te rappelle quelque chose ? Il faut savoir faire ça ! Révise un peu tes cours.

L'autre méthode, qu'apparemment tu n'as jamais vue de ta vie, puisque tu n'as rien compris à l'explication de Billball, s'appelle la méthode de combinaisons linéaires : là aussi, il faut que tu révises cette méthode, apprise bien avant la première !

Donc, les conseils de johnjohnjohn et de Billball, sont excellents : tu peux bien les suivre, mais il te faut réviser les méthodes de résolution des systèmes !

CEPENDANT, dans le cas précis qui nous occupe, c'est beaucoup plus simple ! En effet, les trois points que l'on t'a donnés ne sont pas trois points quelconques, car deux d'entre eux sont sur l'axe des abscisses, c'est-à-dire que leur ordonnée est nulle. Leurs deux abscisses (-1 et 2) sont donc des deux racines du trinôme du second degré ax²+bx+c ! Non ?
Et là aussi, il faut en profiter ! Si f(x)=ax²+bx+c et si f(-1)=0 alors f(x) peut se factoriser par [x-(-1)] c'est-à-dire par (x+1). Si f(2)=0 alors f(x) peut se factoriser par (x-2). Ainsi, du fait que f(-1)=f(2)=0 tu peux immédiatement déduire que f(x) est de la forme a*(x+1)*(x-2) ! La seule inconnue est le coefficient a !
Reste à faire passer cette fameuse parabole par le troisième point : (1;4) ; en écrivant que f(1)=4 :
f(1)=a(1+1)*(1-2)=4
ce qui te permet de calculer a très facilement (une équation à une inconnue) !

Moralité : on peut aimer les méthodes compliquées, mais il est beaucoup plus prudent de choisir une méthode simple !

Evidemment, c'est une bonne chose d'avoir découvert que tu ne savais pas résoudre les systèmes de trois équations à trois inconnues ! En première tu dois absolument savoir le faire ! Alors, révise tes cours passés !

Bon courage !