Logique/demonstration

[Lmarco]

Bonjour a tous :) !
Je suis bloqué a deux questions dans un exercice qui m'a l'air très simple mais je suis bloqué quand même .
1.Montrer que : "si n est pair alors il existe un nombre entier k tel que n = 2*K"

2. Montrer que :"si n est impair alors il existe un nombre entier k tel que n = 2*K+1"

Merci d'avance à ceux qui vont me répondre :id: :id:

[Nightmare]

Salut,

quelle est la définition d'un nombre pair et celle d'un nombre impair?

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour a tous !
Je suis bloqué a deux questions dans un exercice qui m'a l'air très simple mais je suis bloqué quand même .
1.Montrer que : "si n est pair alors il existe un nombre entier k tel que n = 2*K"

2. Montrer que :"si n est impair alors il existe un nombre entier k tel que n = 2*K+1"

Merci d'avance à ceux qui vont me répondre :id: :id:

Salut,

Hmmm... je vois pas trop l'intérêt de l'exo donc on doit vraiment être pointilleux de rigueur.

Un nombre pair est multiple de 2. Il est ainsi divisible par 2, donc la partie entière d'un nombre pair que l'on divise par deux vaut lui-même, car il est entier.
On formalise ceci en disant qu'un nombre pair s'écrit sous la forme :



Pareil mais en version impair : L'ensemble des nombres relatifs impair réuni avec l'ensemble des nombres pairs forme une partition de Z à deux ensembles, ce que l'on note :


voire même :

On en déduit qu'un entier impair s'écrit sous la forme 2k+1 ou 2k-1

[Lmarco]

Salut ,
La définition d'un nombre pair : un nombre est pair si sa moitié est un nombre entier
La définition d'un nombre impair je sais pas :/

[Nightmare]

Ok pour la définition d'un nombre pair, comment la traduirais-tu alors algébriquement?

Pour un nombre impair, on pourrait par exemple dire que c'est un nombre qui n'est pas pair.

[Lmarco]

Soit k un nombre entier et n un nombre pair
n : 2 = k ?

[Lmarco]

Ensuite on fait l'équation et ça donne n=2*k .
C'est bon ?

[Nightmare]

Dans le fond oui, mais dans la forme l'introduction de k n'est pas correcte, ton "soit k un nombre entier" n'ayant pas sa place ici.

Un nombre n est pair si il existe un nombre entier k tel que n : 2 = k. Alors effectivement n=2k

[Lmarco]

Ok merci beaucoup . Mais pour la 2. je ne voit pas comment faire :/ .

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Nightmare,

Et pour le nombre impair, on passe par le fait que la réunion des entiers pairs et des entiers impairs forme une partition de Z ?

[Nightmare]

Ok merci beaucoup . Mais pour la 2. je ne voit pas comment faire :/ .

La façon la plus simple est de dire par exemple que si un nombre est impair, alors le nombre qui le précède est pair.

[Nightmare]

Cela dit, si l'on doit revenir à la définition, à savoir qu'un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair, alors pour montrer ce qu'on veut il faut revenir à la définition de la division euclidienne :

Un nombre qui est pair, c'est un nombre qui a pour reste 0 dans la division par 2. Si un nombre est impair, c'est que son reste dans la division par 2 est non nul. Mais quels sont les autres restes possibles?

[Lmarco]

Donc en algébrique ça donne :
Un nombre est impair si le nombre qui le précéde est pair .
Soit n un nombre impair si il existe un entier k tel que n:2-1=k
n-1=k2
n=k2+1

[Nightmare]

Attention, c'est (n-1):2 qui est entier.

[Lmarco]

(n-1):2=k
(n-1)=k2
n=k2+1
Comme ceci ??

[Nightmare]

Tout à fait, mais n'oublie pas de quantifier tes lettres :

Soit n un entier impair, il existe un entier k tel que ...

[Lmarco]

Je n'oublierais pas :) je vous remercie beaucoup