Logarithe et exponatiel

[Anonyme]

Bonjour je doit faire un travaille de mathématique et je bloque sur cette question: :hein:

Il existe une valeur de b > 1 pour laquelle log en base b de (x) et b^x se croise en un seul point.
Trouver cette valeur de b ainsi que les coordonnées du point d'intersection.


Donc voilà, si quelqu'un pourrait m'aider à comprendre ce qu'il faut faire, ce serait très aimable!

Merci

[Sve@r]

Bonjour je doit faire un travaille de mathématique et je bloque sur cette question: :hein:

Il existe une valeur de b > 1 pour laquelle log en base b de (x) et b^x se croise en un seul point.
Trouver cette valeur de b ainsi que les coordonnées du point d'intersection.


Donc voilà, si quelqu'un pourrait m'aider à comprendre ce qu'il faut faire, ce serait très aimable!

Merci

Intéressant.
Déjà log(x) en base b se calcule par Donc ça veut dire que au point en question, ...

[Anonyme]

Oh... merci, je n'avais pas vu les choses de cette façon!

Je vais voir ce que je peux faire avec cela :++:

[Florélianne]

Bonsoir,
Il existe une valeur de b > 1 pour laquelle log en base b de (x) et b^x se croise en un seul point.
Trouver cette valeur de b ainsi que les coordonnées du point d'intersection.
soit f(x) = b^x - logb(x)= e^xlnb - (lnx)/lnb
cette fonction représente l'ecart entre les deux courbes pour la même valeur de x

f'(x) = lnb e^xlnb - 1/(xlnb)
cette fonction est dérivable sur ]0 ; +oo[
donc continue sur ]0 ; +oo[
lim (x-->0) f'(x) =
lim (x-->0)lnb e^xlnb = lnb
lim (x-->0)1/xlnb = +oo
lim (x-->0) f'(x)= -oo

lim (x-->+oo) f'(x)=
lim (x-->+oo)lnb e^xlnb = +oo
lim (x-->+oo)1/xlnb = 0
lim (x-->0) f'(x)= +oo

f ' est une fonction continue sur ]0 ; +oo[ qui change de signe
une fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler
il existe eu moins une valeur a de ]0 ; +oo[ telle que f '(a) = 0
donc la fonction f a au moins un minimum pour x= a
ce minimum est f(a) = b^a - (lna)/lnb

Il faut trouver la valeur de b > 1 pour que f(a) = 0
c'est à dire : b^a - (lna)/lnb = 0
on sait que f '(a) = 0 (lnb) e^alnb - 1/(alnb) = 0
(lnb) e^alnb = 1/(alnb) (lnb)b^a = 1/(alnb)
b^a = 1/a(lnb)²

b^a - (lna)/lnb = 0 1/a(lnb)² - lna/lnb =0
1 - a lna lnb = 0 a lna lnb = 1
lnb = 1/alna b = e^(1/alna)
ceci nous prouve l'existance mais hélas pas sa valeur...
la valeur a dépendant elle-même de b !

En espérant, déjà, ne pas avoir fait d'erreur (fatigue...) cela donne une idée du problème et de sa complexité...

Désolée, pour le moment, je ne suis pas à même d'aller plus loin... pas la forme ! juste capable de gérer les affaires courantes... et ce n'est pas un problème courant !
J'ai, de plus, peur que nous ne tombions sur une équation transcendante... ça en prend le chemin! mais ma vision n'est pas assez claire pour affirmer quoi que ce soit !
Bonne chance !

[Anonyme]

All right! J'ai trouvé ! :++:

Merci pour l'aide!

[Huppasacee]

Les deux fonctions sont les réciproques l'une de l'autre
donc leurs points d'intersections éventuels sont sur la droite y = x

donc nous sommes ramené à

donc, étudions les variations de la fonction

lnx - xlnb
la dérivée de cette fonction nous donnera un maximum
pour n'avoir qu'un seul point d'intersection , il faut que ce maximum soit 0 , donc pour le point d'intersection en question

[Florélianne]

Bonjour,
Félicitation ! la lumière a jailli !
Les deux fonctions sont les réciproques l'une de l'autre
donc leurs points d'intersections éventuels sont sur la droite y = x
Je suis en plus mauvaises conditions que je n'estimais !
Moi qui ai toujours eu horreur des calculs, et recherché tous les moyens d'y échapper ! Pour me lancer tête baissée dans des calculs de ce type quand cette constatation crève les yeux !!!
Heureusement que d'autres ont le cerveau moins fatigué !
remarque : ce n'était pas de gaîté de coeur ! Il était tard et je ne m'y suis mise que parce que personne n'y avait répondu... sinon je laisse ce genre d'exercices à des cerveaux plus frais (je suis réaliste !)
Bon dimanche à tous.