Linéairement indépendant ?!?

[tlzl]

Bonjour,

Voilà je me retrouve devant cette question:

Déterminer si le vecteur donné est linéairement indépendant?

v1= (1,0,2) v2=(-1,1,3) v3=(0,1,4) v4=(1,1,1)

La réponse est: "Nous avons quatre vecteurs dans R3 donc les vi sont forcément linéairement dépendant (donc pas linéairement indépendant)"

Je comprends effectivement qu'on a 4 vecteur dans R3, mais comment peut-on déterminer qu'ils sont FORCEMENT dépendant sans faire un calcul de matrice ou de combi linéaire?

Merci d'avance de votre aide

Bruno

[Antho07]

Ton espace est de dimension 3. Par conséquent toute famille possedant plus de 3 vecteurs et forcement liée. (pas lineairement independant).

De dimension 3, cela veut dire qu'une base de ton espace sera formé de 3 vecteurs. C'est la taille de la plus grande famille libre et la taille de la plus petite famille génratrice.

[tlzl]

Je suis ok avec le fait que mon espace est en 3D, je suis aussi ok pour dire que c'est la taille de la plus petite famille génératrice (base canonique)

Par contre je ne sais pas ce qu'est une famille libre (libre= linéairement indépendant?)

Et je ne comprends toujours pas la logique de la chose, pourquoi il va de soit que c'est linéairement indé?

[Antho07]

libre cela veut dire linéairement independant.

Dans un espace de dimension 3, 3 vecteurs linéareiement independant forme une base de l'espace.

Ici on te propose 4 vecteurs.

Donc soit il y en a 3 linéariement independant et donc ces 3 vecteurs formerait une base de l'espace et donc le 4 eme s'exprimerait en fonction des 3 premiers.

Du coup les 4 ne sont pas linéareiment independants.


Soit ben yen a meme pas 3 independant donc forcement les 4 ne le seront pas.

[tlzl]

Ca semble effectivement bcp plus logique

Merci pour l'aide!