Limite d'une suite de racines

[chombier]

Bonjour. Voici un problème dont j'ai résolu la première partie mais je bloque franchement sur la dernière question !

Voici l'énoncé original :


Voici l'énoncé :
1)
Soit un entier .
On pose

Montrer que l'équation a une unique solution dans

2) Montrer que la suite converge vers une limite l dans [0 ; 1]

3) Déterminer sa limite

-----

1) La fonction est continue sur [0 ; 1]
De plus et

On calcule :

La dérivée de étant strictement positive sur [0 ; 1], la fonction est croissante sur
Le TVI nous permet d'affirmer qu'il existe un unique réel dans [0 ; 1] tel que

2) On peut démontrer que a_n est décroissante :

Comme ,




Comme est croissante sur [0 ; 1]

, donc la suite est décroissante

Étant décroissante et minorée, la suite converge vers un réel l dans [0 ; 1]

3 ) Là j'ai suivi beaucoup de pistes, voici en vrac les résultats que j'ai trouvés :



lim P_n(1/2) = 1
n->+inf



Rien qui ne me permette véritablement de conclure que l = 1/2

Merci de votre aide !!!!

[tototo]

Bonjour. Voici un problème dont j'ai résolu la première partie mais je bloque franchement sur la dernière question !

Voici l'énoncé original :


Voici l'énoncé :
1)
Soit un entier .
On pose

Montrer que l'équation a une unique solution dans

2) Montrer que la suite converge vers une limite l dans [0 ; 1]

3) Déterminer sa limite

-----

1) La fonction est continue sur [0 ; 1]
De plus et

On calcule :

La dérivée de étant strictement positive sur [0 ; 1], la fonction est croissante sur
Le TVI nous permet d'affirmer qu'il existe un unique réel dans [0 ; 1] tel que

2) On peut démontrer que a_n est décroissante :

Comme ,




Comme est croissante,

, donc la suite est décroissante

Étant décroissante et minorée, la suite converge vers un réel l dans [0 ; 1]

3 ) Là j'ai suivi beaucoup de pistes, voici en vrac les résultats que j'ai trouvés :



lim P_n(1/2) = 1
n->+inf



Rien qui ne me permette véritablement de conclure que l = 1/2

Merci de votre aide !!!![/quote]

[t.itou29]

Salut !
Je sais pas si c'est bon (et si ça l'est, c'est moche et long !) mais bon
On a:





Or pour ,

D'où
Il doit avoir plus simple

[chombier]

Salut !
Je sais pas si c'est bon (et si ça l'est, c'est moche et long !) mais bon
On a:





Or pour ,

D'où
Il doit avoir plus simple

En tout cas tes calculs me semblent parfaits... C'est une piste que j'avais aussi exploré, je m'était arrêté à , ce qui corresponds à ton avant-dernière équation.

Par contre ça me paraissait insoluble ou presque.

Mais j'imagine que tu as suivi ce raisonnement :



Comme ,
d'où

Ça ne me parait ni long ni moche Juste un peu compliqué pour des terminales S. Je ne suis pas sur qu'il y ait plus simple.

Disons qu'en exercice bien guidé, ça pourrait être intéréssant de leur donner. Tel quel, heu... trop dur je pense !

MERCI

[chombier]

En tout cas tes calculs me semblent parfaits... C'est une piste que j'avais aussi exploré, je m'était arrêté à , ce qui corresponds à ton avant-dernière équation.

Par contre ça me paraissait insoluble ou presque.

Mais j'imagine que tu as suivi ce raisonnement :



Comme ,
d'où

Ça ne me parait ni long ni moche Juste un peu compliqué pour des terminales S. Je ne suis pas sur qu'il y ait plus simple.

Disons qu'en exercice bien guidé, ça pourrait être intéréssant de leur donner. Tel quel, heu... trop dur je pense !

MERCI

Finalement je ne suis plus convaincu...

L'implication suivante me pose problème :
"Comme , "

La suite vérifie bien la prémisse mais pas la conclusion, en effet

C'est embêtant !!

[keofran]

Bonjour, j'ai une proposition pour lever le dernier problème :

On sait que la limite existe. On l'appelle l.







0<l<1 donc

d'où l=1/2

[chombier]

Bonjour, j'ai une proposition pour lever le dernier problème :

On sait que la limite existe. On l'appelle l.







0<l<1 donc

d'où l=1/2

Pour le coup c'est avec la deuxième ligne que j'ai du mal :



Je n'ai pas de contre exemple sous le coude, mais je sais par expérience que "passer à la limite" sans précautions amène souvent à des surprises désagréables.

Par exemple

Si on admet

On aura une belle surprise avec

[t.itou29]

Finalement je ne suis plus convaincu...

L'implication suivante me pose problème :
"Comme , "

La suite vérifie bien la prémisse mais pas la conclusion, en effet

C'est embêtant !!

Effectivement ! J'ai appliqué la formule pour les limites du type pensant que ça marchait pour une suite mais non ça doit marcher qu'avec des réels ou alors il faut des conditions. La suite est croissante et tend vers 1, c'est peut-être pour ça que ça ne marche pas.

[keofran]

Finalement je ne suis plus convaincu...

L'implication suivante me pose problème :
"Comme , "

La suite vérifie bien la prémisse mais pas la conclusion, en effet

C'est embêtant !!

Comme est une suite décroissante on a

donc

et comme (cette fois sans difficulté !) donc

[chombier]

Comme est une suite décroissante on a

donc

et comme (cette fois sans difficulté !) donc

Avec le théorème des gendarmes, joli. Je pense qu'on a la solution.

J'essaierais de le rédiger proprement et complètement ici, pour moi, et pour ceux qui one cherché. Mais on a otites les pièces, je crois.

[SaintAmand]

:
On calcule :

Oh ! Pas besoin de dériver pour étudier le sens de variation de P sur [0,1].

Le TVI nous permet d'affirmer qu'il existe un unique réel dans [0 ; 1] tel que

NON. Le TVI affirme l'existence d'une solution, pas l'unicité. En plus, la croissance de P ne suffit pas à justifier l'unicité. Mais fort heureusement ici elle est strictement croissante.

[chombier]

Oh ! Pas besoin de dériver pour étudier le sens de variation de P sur [0,1].



NON. Le TVI affirme l'existence d'une solution, pas l'unicité. En plus, la croissance de P ne suffit pas à justifier l'unicité. Mais fort heureusement ici elle est strictement croissante.

Ben dériver c'est quand même pratique. Qu'aurais-tu dit ? La somme de fonctions croissantes est une fonction croissante ?

Sinon, ok, le TVI prouve l'existence, pas l'unicité, le théorème permettant d'affirmer l'unicité est le théorème de la bijection.

Quand a P, elle est strictement. croissante sur [0; 1] car sa dérivée est strictement positive sauf en un nombre fini de points ou elle s'annule. (Ou : c'est la somme de fonctions strictement croissantes sur [0; 1 ])

[keofran]

Sinon, ok, le TVI prouve l'existence, pas l'unicité, le théorème permettant d'affirmer l'unicité est le théorème de la bijection.

Il est souvent présenté comme le corollaire du TVI. Ca ne me choque pas de regrouper ces 2 propositions sous la même appellation. L'important reste de bien présenter les conditions pour affirmer ou non l'unicité.

[SaintAmand]

Ben dériver c'est quand même pratique. Qu'aurais-tu dit ? La somme de fonctions croissantes est une fonction croissante ?

Il n'y pas mieux. C'est simple et court. Dériver ici c'est appliquer bêtement des méthodes sans réfléchir. C'est comme appliquer la «méthode du déterminant» pour trouver les racines de x^2+2x=0 ou x^2 + 1 = 0.

Sinon, ok, le TVI prouve l'existence, pas l'unicité, le théorème permettant d'affirmer l'unicité est le théorème de la bijection.

Je n'aime pas ce théorème de bijection. Je préfère séparer la démonstration de l'existence et de l'unicité; TVI pour l'existence, et stricte monotonie pour l'unicité.

[SaintAmand]

Il est souvent présenter comme le corollaire du TVI.

Corollaire du TVI mais pas le TVI.

Ca ne me choque pas de regrouper ces 2 propositions sous la même appellation.

Encore faut-il que les élèves comprennent bien d'où vient l'existence, et d'où vient l'unicité. Je constate que ce n'est pas toujours le cas.