Limite d'une somme

par **merline** » 13 Oct 2013, 11:27

Bonjour,

Je suis une élève de Terminale S.
Mon exercice est le suivant:

Montrer que la suite (Un) définie par Un=\bigsum_{k=1}^{n} 1/sqrt{k}

Je vois bien que lim (Un) = + \infty
J'ai commencé par dire que 1/k < 1/sqrt{k}
Donc, si lim (1/k)= + \infty , alors lim (1/sqrt{k}) l'est aussi.
Seulement, je n'arrive pas à trouver la méthode!!! :cry:

Merci d'avance pour vos réponses!!! :help:

par **nodjim** » 13 Oct 2013, 11:39

Ton latex est pourri. Peux tu réécrire sans ?

par **Sourire_banane** » 13 Oct 2013, 11:50

Salut,

merline a écrit:Donc, si lim (1/k)= + \infty , alors lim (1/sqrt{k}) l'est aussi.

Non, relis-toi bien, comment se peut-il que 1 divisé par quelque chose qui tend vers l'infini tende aussi vers l'infini ?

par **merline** » 13 Oct 2013, 13:01

Mon exercice est le suivant:

Montrer que la suite (Un) définie par Un=Sigma{k=1}^{n} (1/racine de k)

Je vois bien que lim de la somme de (Un) = + oo
J'ai commencé par dire que Somme de (1/k) < Somme de (1/racine carrée de k)
Donc, si lim de la somme de (1/k)= + oo , alors lim de la somme de (1/racine carrée de k) l'est aussi.

Je mexcuse, j'ai écrit un peu n'importe quoi...
Mais ce que je voulais dire, c'est c'est la Limite de la Somme de (Un) qui est à +oo!!!
Encore désolée!

par **Sourire_banane** » 13 Oct 2013, 13:04

merline a écrit:Mon exercice est le suivant:

Montrer que la suite (Un) définie par Un=Sigma{k=1}^{n} (1/racine de k)

Je vois bien que lim de la somme de (Un) = + oo
J'ai commencé par dire que Somme de (1/k) < Somme de (1/racine carrée de k)
Donc, si lim de la somme de (1/k)= + oo , alors lim de la somme de (1/racine carrée de k) l'est aussi.

Je mexcuse, j'ai écrit un peu n'importe quoi...
Mais ce que je voulais dire, c'est c'est la Limite de la Somme de (Un) qui est à +oo!!!
Encore désolée!

C'est de toute manière encore faux. Si quelque chose tend vers l'infini est que tu prends un autre truc dont tu ne connais pas le comportement mais qui est majoré par le qqchose tendant vers l'infini, est-ce que tu peux conclure sur la convergence de ce truc ?

par **merline** » 13 Oct 2013, 13:13

Sourire_banane:

Oui, mais, une somme d'une suite aux "facteurs" positifs quelle qu'elle soit sera toujours en augmentation.
Donc, sa limite, est +oo.
Non?
je m'exprime plutôt mal, désolée... =s

par **Sourire_banane** » 13 Oct 2013, 13:16

merline a écrit:Sourire_banane:

Oui, mais, une somme d'une suite aux "facteurs" positifs quelle qu'elle soit sera toujours en augmentation.
Donc, sa limite, est +oo.
Non?
je m'exprime plutôt mal, désolée... =s

Non.

En fait on ne sait pas dans la plupart des cas, et c'est en bac+2 que l'on découvre des critères pour savoir si une somme de termes positifs (dont la suite est nommé "série") converge ou pas.
Il s'avère que ces séries (celles de ton exo) sont des séries de Riemann, c'est-à-dire dont le terme général est 1/(n^alpha). Si alpha est strictement plus grand que 1, la série converge. Sinon elle diverge.

Mais ça, tu n'es pas censée le savoir.

PS : Ce n'est pas notre soucis. Le problème ici c'est que tu exploites mal un critère de convergence des suites par comparaison.

par **merline** » 13 Oct 2013, 13:24

Sourire_banane a écrit:
PS : Ce n'est pas notre soucis. Le problème ici c'est que tu exploites mal un critère de convergence des suites par comparaison.

Super --'
Ben merci de m'avoir stoppé alors :lol3:
Mais, euh... Une petite piste pour m'aider à commencer? :triste:
Pas forcément Sourire_banane, il m'a déjà pas mal aidé sur le sujet!!

par **Sourire_banane** » 13 Oct 2013, 13:28

merline a écrit:Super --'
Ben merci de m'avoir stoppé alors :lol3:
Mais, euh... Une petite piste pour m'aider à commencer? :triste:
Pas forcément Sourire_banane, il m'a déjà pas mal aidé sur le sujet!!

Ben tant que j'y suis...

Si à partir d'un certain rang au moins, on a

et que

converge, que peut-on dire de la nature de

? Et si

?

PS : Au fait, j'aurais dû te le demander depuis le début mais, qu'est-ce qu'on veut démontrer au juste ?

par **merline** » 13 Oct 2013, 13:34

Je te remets mon énoncé tel quel:

Montrer que la suite (Un) définie pas Un= Sigma de n pour k=1 (1/racine carrée de k) a pour limite +oo

Voilà..

par **Sourire_banane** » 13 Oct 2013, 13:45

merline a écrit:Je te remets mon énoncé tel quel:

Montrer que la suite (Un) définie pas Un= Sigma de n pour k=1 (1/racine carrée de k) a pour limite +oo

Voilà..

Ok.

Que sais-tu de la nature de la série harmonique ?

par **merline** » 13 Oct 2013, 14:20

je ne sais déjà pas ce qu'est une série harmonique...
Mais je te remercie pour tout vraiment, j'ai trouvé une personne qui m'a expliqué le souci!!
Le plus grand terme de ma suite étant 1, et le plus petit étant (1/racine carrée de n) * n
J'ai minoré en disant que (1/racine carrée de k) > (1/racine carrée de n)
je sais que (1/racine carrée de n) * n = (racine carrée de n)
donc, Un > (racine carrée de n)
Sachant que la limite de la somme de (racine carrée de n) tend vers +oo, j'ai démontré mon énoncé.
Encore merci d'avoir essayé de me guider!!!

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