Lim(ln(1+x)-x)/x²

[ami2004ne]

Calculer qd x--->0

[titine]

Calculer qd x--->0

(ln(1+x)-x)/x² = ln(1+x)/x² - 1/x

Pour 1/x pas d problème ça tend vers -inf à gauche de 0 et + inf à droite de 0.

Pour ln(1+x)/x² on peut poser le changement de variable : X = 1+x
Donc x = X-1
Donc ln(1+x)/x² = ln(X)/(X-1)² = ln(X)/(X-1) * 1/(X-1)
Lorsque x tend vers 0, X tend vers 1.
Et on sait que la limite quand X tend vers 1 de ln(X)/(X-1) = 1
Donc limite quand X tend vers 1 de ln(X)/(X-1) * 1/(X-1) = -inf si X1 (c'est à dire si x>0)

Mes explications sont elles claires ?

[kelthuzad]

Salut,

Ne serait-ce pas mieux d'utiliser un développement limité ?

[titine]

Salut,

Ne serait-ce pas mieux d'utiliser un développement limité ?

Les développements limités ne sont pas enseignés au lycée en France.
J'ai supposé que ami2004ne ne les connaissait pas.

[paquito]

(ln(1+x)-x)/x² = ln(1+x)/x² - 1/x

Pour 1/x pas d problème ça tend vers -inf à gauche de 0 et + inf à droite de 0.

Pour ln(1+x)/x² on peut poser le changement de variable : X = 1+x
Donc x = X-1
Donc ln(1+x)/x² = ln(X)/(X-1)² = ln(X)/(X-1) * 1/(X-1)
Lorsque x tend vers 0, X tend vers 1.
Et on sait que la limite quand X tend vers 1 de ln(X)/(X-1) = 1
Donc limite quand X tend vers 1 de ln(X)/(X-1) * 1/(X-1) = -inf si X1 (c'est à dire si x>0)

Mes explications sont elles claires ?

Mais -1/x->+inf à gauche donc une nouvelle forme indéterminée -inf+inf!

le dl d'ordre 2 donne immédiatement -1/2 comme limite; on sait ce qu'il faut trouver (sans les dl!)

[paquito]

Posons u(x)=ln(x+1)-x, u(0)=0
v(x)=x², v(0) =0.

, donc quand x->0 la lim cherchée est aussi la lim de
nouvelle forme indéterminée, refaisons la même chose avec u'(x) et v'(x).
Cette fois la limite cherchée devient celle de.