Les types de séries

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
lazare
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les types de séries

par lazare » 23 Juil 2021, 05:53

Bonjour.

Je cherche à comprendre quelle est la différence entre un développement en série entière, un développement limité et une série de Taylor. :ugeek:
J'ai un niveau lycée. Je pose des questions sur les maths par intérêt non-professionnel. Si vous utilisez des termes du supérieur dans vos réponses. Pouvez vous me les définir svp? Merci à vous.



GaBuZoMeu
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Re: les types de séries

par GaBuZoMeu » 23 Juil 2021, 13:17

Bonjour,

Ta question ne relève pas de la rubrique "Lycée", mais de la rubrique "Supérieur".

Un développement en série entière (disons, en 0) donne une fonction comme somme d'une série de puissances de la variable (une série entière) qui converge dans un disque de centre l'origine.

Un développement limité (disons aussi en 0), comme son nom l'indique, est limité à un certain ordre , et donne un polynôme de degré inférieur ou égal à (la partie régulière du développement limité) dont la différence avec la fonction est négligeable devant .

La série de Taylor d'une fonction au voisinage de 0 est la série formelle ; formelle ça veut dire qu'on ne lui demande pas de converger. Correction : si cette série a un rayon de convergence >0, ce n'est pas forcément le développement en série entière de . Qu'elle converge ou non, si on tronque la série de Taylor à l'ordre , on obtient la partie régulière du développement limité de .
Modifié en dernier par GaBuZoMeu le 26 Juil 2021, 08:14, modifié 1 fois.

lazare
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Re: les types de séries

par lazare » 25 Juil 2021, 21:27

GaBuZoMeu a écrit:Un développement en série entière (disons, en 0) donne une fonction comme somme d'une série de puissances de la variable (une série entière) qui converge dans un disque de centre l'origine.


T'es sur que tu veut pas plutot dire "comme somme d'une SUITE de puissance de la variable[...]" ?
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Re: les types de séries

par GaBuZoMeu » 25 Juil 2021, 21:36

Non, j'ai bien écrit ce que je voulais écrire.
Pourquoi poses-tu cette question ?

Par contre, tu voulais sans doute écrire
"T'es sûr que tu ne veux pas plutôt dire ..."

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mathelot
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Re: les types de séries

par mathelot » 25 Juil 2021, 23:01

Bonsoir il faut tester les théorèmes et propriétés avec la fonction exp(-1/x^2) prolongée en x=0 par f(0)=0

lazare
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Re: les types de séries

par lazare » 26 Juil 2021, 01:30

GaBuZoMeu a écrit:Non, j'ai bien écrit ce que je voulais écrire.
Pourquoi poses-tu cette question ?


Parce que j'ai vraiment du mal a comprendre ce que tu dis et sur d'autres définitions trouvée sur google ça parle de somme de suites.


GaBuZoMeu a écrit:Un développement limité (disons aussi en 0), comme son nom l'indique, est limité à un certain ordre , et donne un polynôme de degré inférieur ou égal à (la partie régulière du développement limité) dont la différence avec la fonction est négligeable devant .


Donc si je comprend bien. Un développement limité c'est la meme chose qu'un développement en série mais avec un nombre de n limité ?
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Re: les types de séries

par GaBuZoMeu » 26 Juil 2021, 08:07

Donc si je comprend bien. Un développement limité c'est la meme chose qu'un développement en série mais avec un nombre de n limité ?


Non absolument pas. Ce n'est pas du tout ce que j'ai écrit.
Un développement limité ne fait que donner une approximation locale 'à un certain ordre) de la fonction.
Un développement en série donne la valeur exacte de la fonction comme somme d'une série (je dis bien série) sur tout un intervalle.


Je m'aperçois que j'ai écrit une grosse bêtise plus haut : si la série de Taylor d'un fonction a un rayon de convergence non nul, ce n'est pas pour autant que cette fonction est développable en série entière : la somme de la série de Taylor peut différer de la fonction sur l'intervalle de convergence, comme le montre l'exemple de mathelot ou la série de Taylor de la fonction est nulle sans que celle-ci soit nulle.
Ce qui est vrai, c'est qu'une fonction développable en série entière (en 0) est au voisinage de 0 et que la série entière est sa série de Taylor en 0.

lazare
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Re: les types de séries

par lazare » 27 Juil 2021, 23:59

GaBuZoMeu a écrit:Un développement en série donne la valeur exacte de la fonction comme somme d'une série (je dis bien série) sur tout un intervalle.


Quelle est la difference entre un développement en série et une serie?
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Re: les types de séries

par GaBuZoMeu » 29 Juil 2021, 23:05

Ça, c'est essentiellement une question de français, non ?

lazare
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Re: les types de séries

par lazare » 02 Aoû 2021, 07:24

GaBuZoMeu a écrit:Ça, c'est essentiellement une question de français, non ?


Met toi à ma place, j'ai jamais dépassé le lycée. Je ne sais pas exactement pas ce qu'est une série ni un developpement en série. En fait avant que tu utilises l'un pour définir l'autre je voyais pas la différence entre les deux.
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