Légende de l'échuiquier

[leanouille]

Bonjour à tous, je vous pose mon problème en espérant que vous pourrez m'aider :


"Le Roi demande à l'inventeur du jeu d'échecs de choisir lui-même sa récompense. Celui-ci répond : "Place 2 grains de blé sur la 1ère case, 4 sur la deuxième, 8 sur la troisième, 16 sur la quatrième et ainsi de suite. Je prendrai tous les grains qui se trouvent sur l’échiquier." Le Roi sourit de la modestie de cette demande. En réalité, cette demande était-elle vraiment modeste ?"

1) a- Calculer u1, u2, u3, u4 et u5
b- Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier
c- Exprimer un en fonction de n et calculer u64
2) On note S le nombre total de grains sur l'échiquier. Ainsi S = 2 + 2² + 2^3 +...+2^64
a- Exprimer 2S puis 2S-S
b- En déduire S
3) sachant qu'un grain de blé pèse, en moyenne, 5x10^-2 gramme et qu'un mètre cube de blé pèse, en moyenne, une tonne, quelles pourraient être les dimensions d'un grenier qui contiendrait le blé gagné par l'inventeur ? Le Roi avait-il raison de sourire ?

Donc pour la question 1 :
a- Nous savons qu'il y a 2 grains de blé sur la 1ère case de l'échiquier donc :
u1 = 2
u2 = 2x2^1 = 4
u3 = 2x2^2=8
u4 = 2x2^3=16
u5=2x2^4=32
b- (un) est une suite géométrique car elle est de la forme un=up*q^(n-p) avec up=u1=2 et q=2
c- un=2*2^(n-1)
u64= 2*2^(64-1)= (environ) 1,845x10^19

pour la question 2 :
a- 2S = 2(2+2^2+2^3+2^4+...+2^64) dont 2S=2²+2^3+2^4+...+2^65
2S-S = (2²+2^3+2^4+...+2^65)-(2+2²+...+2^64)
donc 2S=S+2^65 - 2
donc S=2^65-2

et la question 3 je n'y arrive pas

Merci de votre aide

[siger]

bonjour

2*2^(n-1) =2^n !!!!!

connaissant le nombre total S de grains et le poids d'un grain tu peut calculer le poids total en tonnes puis le volume correspondant en m^3
d.ou des dimensions possibles du grenier

[leanouille]

bonjour

2*2^(n-1) =2^n !!!!!

connaissant le nombre total S de grains et le poids d'un grain tu peut calculer le poids total en tonnes puis le volume correspondant en m^3
d.ou des dimensions possibles du grenier

Merci pour votre réponse !
Pour la 3) j'ai fait (2^65-2)*(5*10^-2) = 3,69*10^19 g donc 3,69*10^16 tonnes est-ce juste ?

[siger]

re

1- tu peut prendre S = 2^65 et laisser tomber le 2, compte tenu des ordres de grandeurs
2- on a effectivement un nombre de grains egal a 2^65 = 3.7*10^19
mais il faut le poids total (x 5*10^-2)....
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