X+y=kxy

par **bobosss** » 16 Oct 2008, 22:25

Bonjour à tous j'aimerai que vous m'aidiez pour cet exo.

Trouvez tous les couples d'entiers naturels dont la somme est un multiple du produit.

cad x+y = kxy donc x= y ( kx-1 ).
Bon alros j'ai prouver que k été supérieur stric à 3 car dans ce cas 3x-1 supérieur à x.(pr x supérieur à 0)
DOnc y faut tester avec k=0 , 1 et 2
mais je ne trovue pas.

par **Huppasacee** » 16 Oct 2008, 22:36

Tu as obtenu
x= y ( kx-1 )

y est un entier
en clair cela veut dire que ... divise ...
le y , tu l' oublies et tu raisonnes avec le reste

par **Huppasacee** » 16 Oct 2008, 22:39

Comment tires tu ton k>3 ?

par **bobosss** » 16 Oct 2008, 22:45

beh k est forcement inférieur à 3. car sinon kx-1 supérieur à x

par **Huppasacee** » 16 Oct 2008, 22:52

ce n'est pas ce que tu as écrit au début

par **bobosss** » 16 Oct 2008, 22:55

oui et bien je me suis peut etre trompé en écrivant. Même probablement si tu le dit.
Mais j'aimerai savoir quand on a prouver ca comment on trouve le couple d'entier (x,y) en testant k=0,k=1,k=2

par **bobosss** » 16 Oct 2008, 23:08

bon tu m'a pas du tt avancé mais bon c'est pas grave je me débrouillerez seul.
merci quand mm

par **Huppasacee** » 16 Oct 2008, 23:10

x= y ( kx-1 )
ce la veut dire que
kx-1 divise x

Prenons le cas k = 1
x-1 divise x
or x-1 est toujours premier avec x
k = 1 : pas de solution

essayons avec k = 2
2x-1 divise x
donc 2x-1 <=x
si nous prenons les fonctions x et x -1 , la droitey = 2x - 1 n'est en dessous de la droite y = x que pour x<=1
donc pour les entiers naturels : seuls 0 et 1 sont possibles
pour x = 1 , cela donne y = ..

remarquons que pour les entiers a = 0 et b = 0 , c'est toujours vrai quel que soit k

par **rene38** » 17 Oct 2008, 00:15

Bonsoir

Huppasacee a écrit:x= y ( kx-1 )ce la veut dire que
kx-1 divise x

Prenons le cas k = 1
x-1 divise x
or x-1 est toujours premier avec x
k = 1 : pas de solution

ce qui ne l'empêche pas de diviser x si x=2.
Il y a bien une solution dans ce cas : 2+2 est multiple de 2×2.

par **Huppasacee** » 17 Oct 2008, 07:57

rene38 a écrit:Bonsoirce qui ne l'empêche pas de diviser x si x=2.
Il y a bien une solution dans ce cas : 2+2 est multiple de 2×2.

Merci
c'est vrai que 1 divise 2

par **oscar** » 17 Oct 2008, 10:23

Bonjour

Connais -tu le trinôme du 2e degré???

t(x)=ax² +bx +c

x'+x"= -b/a et x'*x" = c/a

il faut que -b/a = k*c/a ou - b = kc..

par **leon1789** » 17 Oct 2008, 12:29

On sait que x et y sont racines de T^2 - (x+y) T + xy

Si x+y = kxy alors x et y sont racines de T^2 - kxy T + xy
Autrement dit, x^2 est multiple de xy, donc x multiple de y
De même, y est multiple de x ...

je te laisse terminer.

par **leon1789** » 17 Oct 2008, 12:31

Huppasacee a écrit:x= y ( kx-1 )
ce la veut dire que
kx-1 divise x

heu, il y a gros bug là ! :marteau: c'est kx-1 divise x-y

par **Zweig** » 17 Oct 2008, 15:23

Hello,

Puisque l'équation est symétrique en ses variables, on peut supposer sans perte de généralité

, d'où :

d'où

. L'inéquation est vérifiée pour

et

. Ainsi l'unique couple solution dans

:

par **Zweig** » 17 Oct 2008, 15:25

Hello,

Puisque l'équation est symétrique en ses variables, on peut supposer sans perte de généralité

, d'où :

d'où

. L'inéquation est vérifiée pour

et

. Ainsi les triplets solutions dans

sont :

par **leon1789** » 17 Oct 2008, 15:46

parmi les solutions, il y a aussi (0,0) !

par **Zweig** » 17 Oct 2008, 15:53

Oui, certes, je l'ai passée sous silence car bon, elle était évidente.

par **rene38** » 17 Oct 2008, 16:04

Zweig a écrit:... Ainsi les couples solutions dans sont :

Couples classiques du théâtre de boulevard : le mari, la femme, l'amant !
OK, je sors.

par **Zweig** » 17 Oct 2008, 16:23

Oui désolé, c'est triplet ... :marteau:

par **leon1789** » 17 Oct 2008, 16:34

Zweig a écrit:Oui, certes, je l'ai passée sous silence car bon, elle était évidente.

:ptdr: les autres aussi sont évidentes...

X+y=kxy

x+y=kxy

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