Isomorphisme

[Euler911]

Bonjour,


J'ai trouvé dans Espace Math 66 un exercice qui me pose problème.
Voici l'énoncé:

Soit , l'ensemble des matrices de la forme , où a et b sont des réels.

A) Démontrer que est un champ.
je suis parvenu à le faire.

B) Démontrer que l'application



est telle que, pour toute matrice et toute matrice
On a

Ensuite, ils disent que si les points A et B sont démontré, on dit que f est un isomorphisme du champ sur le champ .
Le problème est qu'ils ne donnent aucune définition... donc je ne comprend pas ce qu'est un isomorphisme. Ce serait sympa si quelqu'un pouvait me dire ce qu'est concrètement un isomorphisme.

Merci beaucoup.

[Euler911]

Un petit "up" au passage:P

[Euler911]

Aller encore un, mais c'est le dernier: "up!".

[leon1789]

De manière générale , un isomorphisme est
-- une application compatible avec la nature des ensembles de départ et d'arrivée (je vais expliquer)
-- une application bijective
-- sa réciproque est aussi compatible avec la nature des ensembles d'arrivée et de départ.

Sur ton exemple, la nature des objets, c'est les lois interne + et .

Il faut montrer que f(a+b) = f(a) + f(b) , f(ab) = f(a) f(b), f(Id) = 1 ,
et que f est bijective (alors , tu pourras le vérifier, sa réciproque est obligatoirement compatible avec + et .)

[Euler911]

C'est quoi le id? Je ne suis plus sûr de ce qu'est une application bijective... je sais que exp(x) en est une mais c'est tout...:(

[leon1789]

Id , c'est quand a=1 et b=0 dans

[leon1789]

Je ne suis plus sûr de ce qu'est une application bijective...

mais si, regarde bien, c'est évidemment injectif et surjectif :we:

[Euler911]

Injectif ça je connais: soit f une fonction. On dit que f est injective ssi quelque soient a et b, deux réels de sont domaine, f(a) est différent de f(b).

Par contre pour surjectif... je sèche!

[Euler911]

Je me pose une autre question:

Pourquoi ils ont mis -b? ça changerait quelque chose si on mettait juste
a b
b a

??

[leon1789]

Pourquoi ils ont mis -b? ça changerait quelque chose si on mettait juste
a b
b a

oui, f ne serait pas compatible avec la multiplication.

[Euler911]

Ah oui! en effet...

[leon1789]

Par contre pour surjectif... je sèche!

alors là :marteau: :marteau: !!!!!!!!!!

Prend un nombre complexe x+iy avec x et y réels.
tu n'arrives pas à trouver une matrice avec a et b bien choisis pour tomber sur x+iy ???

[Euler911]

mais... :( c'est ma faute si je sais pas ce que c'est? :ptdr:

Bon je vais aller voir sur wiki;)

[leon1789]

ben prends a=x et b=y !.... :cry:

fais pas la tête, t'es pas un monstre.... :zen:

[leon1789]

mais... c'est ma faute si je sais pas ce que c'est? :ptdr:

ha, tu ne sais pas ce qu'est une surjection, ok.

Pour toi, c'est quoi une bijection ?

[Euler911]

Eh bien, pour moi, une fonction bijective est une fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante (je crois qu'en France, on dit plus simplement strictement monotone).

[Nightmare]

Comment peut-on convenablement faire de l'algèbre linéaire lorsqu'on ne sait pas ce qu'est une bijection?!

[Euler911]

Comment peut-on convenablement faire de l'algèbre linéaire lorsqu'on ne sait pas ce qu'est une bijection?!

Telle est la question!

[leon1789]

Une bijection, c'est une application f : A -> B telle que tout élément de B possède un et un seul antécédent dans A.

Ici, tu peux vérifier cette propriété de f facilement.

[Euler911]

J'ai lu l'article sur la surjectivité et en gros je retiens que une fonction f est surjective SSI sa réciproque est injective. C'est correct?