Intrégale - TS
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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lnk
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par lnk » 09 Avr 2006, 10:33
Bonjour à tous !
Je suis actuellement bloqué sur une question de mon devoir de maths sur les intégrales.
Là voici:
Pour tout entier naturel n, on pose:
dt)
Montrer que, pour tout entier naturel n, on a:
)
Indication: on pourra utiliser le sens de variation de la fonction h, définie sur
par
=ln(1+e^{-2t}))
.
Aprés étude de la fonction proposée par l'indication j'obtiens que:
- la fonction h est décroissante sur
- h(0)=ln2
-
=0)
Mais je ne sais pas quoi en faire; d'ou partir ?; que faire ?
Merci d'avance.
Amicalement lnk.
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sirglorfindel
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par sirglorfindel » 09 Avr 2006, 11:07
Il faut utiliser le théorème sur la croissance de l'intégrale :
on considère n un entier et t appartenant à [n;n+1] :
on a n =< t =< n+1
Donc comme la fonction h est décroissante et positive : 0 < h(n+1) =< h(t) =< h(n)
Tu intégres cette inéquation entre n et n+1 et tu obtients ce que tu veux... (les inégalités sont conservées quand tu intégres par croissance de l'intégrale sur les fonctions positives)
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lnk
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par lnk » 09 Avr 2006, 11:23
Salut !!
donc tu arrives à:
 \ge ln(1+e^{-2t}) \ge 0)
que tu intégres en suite pour retomber sur
?
Merci !
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Mikou
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par Mikou » 09 Avr 2006, 11:58
ta fonction est strictement decroissante d'ou f(n) > f(n+1) et comme tu travaille sur linterval [n;n+1] soit un majorant M de f sur celui-ci, tu as donc
 < M)
dou
 < \int_n^{n+1} M)
soit
 < M)
en prenant M = f(n) tu as donc
 < f(n))
finalement
)
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