Formes canoniques, équations et inéquations

[lety59]

Bonjour, voici un exercice de mon DM, je l'ai commencé mais je bloque sur quelques questions, si quelqu'un pourrait m'aider, je le remercie d'avance

Exo:
Une entreprise fabrique et vend des jouets en bois. Le coût de fabrication de chaque jouet est de 2 euros et les frais fixes de cette entreprise s'élèvent à 864 euros pour l'ensemble d'une production.

1) quel est le total des dépenses engagées par l'entreprise pour fabriquer 100 jouets ?

ma rep:
Pour 100 jouets: 2*100+864
=200+864=1064
Donc le total des dépenses engagées par cette entreprise pour fabriquer 100 jouets est de 1064 €.

2)Soit x un entier naturel. Montrer que le total des dépenses engagées par cette entreprise pour fabriquer x jouets est 2x+864

ma rep:
Sachant que x est le nb de jouets fabriqués et que chaque jouet coûte 2€ à sa fabrication, le prix de la fabrication sera 2x. De plus, l'entreprise doit payer 864 € pour l'ensemble d'une production, donc on doit ajouter 864 à 2x. Ainsi 2x+864 est le total des dépenses engagées par cette entreprise pour fabriquer x jouets.

3) Une étude de marché a montré que, pour un prix de vente unitaire p (euros), le nombre de jouets vendus est x=288-12p avec p [5;24]. Montrer que l'argent récupéré est R(p)= p(288-12p).
(Recette obtenue par la vente de jouets).

ma rep:
x=nb de jouets vendus.
R(p)=px puisque x=288-12p
Sachant que p est le prix d'un jouet et x le nb de jouets vendus, la recette sera forcément le produit de p fois x.
D'après l'étude de marché on remarque que x=288-12p donc pour que le calcul de la recette soit plus simple, on remplace x par sa valeur en fonction de p soit R(p)=p(288-12p). Ainsi la future équation (si équation il y a) sera a une inconnue.

4)Ecrire R(p) sous forme canonique.

ma rep:
R(p)=p(288-12p)
=288p-12p²

=288²-4(-12)*0
=82944

Alpha=288/-24=-12
=82944/4(-12)
=82944/576=144

-12[(x-12)²-144]

5)En déduire pour quelle valeur de p la recette R(p) est maximum. Quel est alors le nombre de jouets vendus? Ce qui interresse l'entreprise est de savoir quels sont les bénéfices : recette des ventes moins les dépenses engagées. Pour que l'entreprise soit retable, il faut que les bénéfices soients positifs.

Je n'ai pas réussi à faire celle-ci

6)Exprimer en fonction de p, le bénéfice (noté B(p)) de l'entreprise: B(p)=-12p²+288p-1440

Je n'ai pas su faire celle là non plus

7) Ecrire la forme canonique de B(p). Puis factoriser l'expression grâce à une identité remarquable: B(p)=-12(p-20)(p-6)

Ma rep:
B(p)=-12p²+288p-1440
=288²-4*(-12)*(-1440)
=82944-69120
=13824

Alpha=288/2*(-12)
=288/-24
=-12

=13824/4*(-12)²
=13824/576
=24

-12[(x-12)²-24]

Mais je n'ai pas réussi la 2e partie de la question

8)Dans quel intervalle p doit il varier pour que l'entreprise soit retable?

je n'ai pas réussi celle ci nonplus

9) En utilisant l'écriture canonique de B(p), trouver pour quelle valeur de p le bénéfice est maximum. Quel est alors le nombre de jouets vendus?

Et celle ci non plus

Voilà, c'est assez long donc si quelqu'un peu m'aider je le remercie d'avance ^^

[olivthill]

5) Recherche du maximum de R(p)

R(p) = -12p²+288p
Cette fonction est un polynome du second degré, qui est dérivable sur l'intervale ]-inf, +inf[

Les valeurs pour lesquelles sa dérivée s'annule sont les points où la tangente à la courbe change de sens, autrement dit, ce sont les points d'inflexion.

La dérivée de R(p) est -24p + 288.
La dérivé s'annule pour p=288/24 = 12.
Donc la recette est maximale pour p = 12.

On peut d'ailleurs vérifier que la recette pour 12 jouets est 12x(228-12x12)=1728 ; pour 11 jouets : 11x(228-11x11)=1177 ; pour 13 jouets : 13x(228-13x13)=767.

Le nombre de jouets vendus est 288 - 12p = 288 - 12x12 = 144.

[lety59]

merci de ton aide, mais je n'ai pas encore vu les dérivées et tout ça cette année :hein:
sinon pour les autres questions, quelqu'un pourrait il m'aider ?

[lety59]

help s'il vous plait

[lety59]

:briques: m'en sortirais jamais avec ce DM :triste: