Fonctions-Suites

[Soussou]

Bonjour,
Voici un exercice dont je bloque sur la dernière question. Merci si quelqu'un peut bien m'aider.

Partie A:
On note f la fonction définie sur [0 ; + 00[ par f(x) = x -
1) Déterminer la limite de f en +00
J'ai trouvé +00
2)Etudier le sens de variations de f
f est strictement croissante sur [0 ; +00[
3) a) En déduire que (E): f(x) = 0, possède une seule solution sur [0 ; 1], notée
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires
b) Donner une valeur approchée de à 0,001 près
D'après la calculatrice, à 0,001 près
Partie B:
On note g la fonction définie sur [0 ; +00[ par
1) Déterminer la limite de g en +00
J'ai trouvé 0
2) Calculer g'(x) et vérifier que
Je l'ai trouvé
3) Etudier les variations de g sur l'intervalle [0 ; +00[
g est strictement croissante sur [0 ; [ et strictement décroissante sur ] ; +00[

On considère la suite définie par:
4) Calculer les valeurs de la suite. On arrondira à 0,0001 près.

On ne nous demande pas de calculer mais je pense qu'on est obligé de le faire pour avoir
5) On admet que la suite est convergente. On note L sa limite.
Justifier que
C'est cette question qui me pose problème. Je ne sais pas comment faire.

Voici ce que j'ai commencé à faire mais ne me mène nul part:
Puisque est convergente et que alors
Comme et que g est croissante sur [0 ; , alors est minorée par son premier terme et comme g est décroissante sur [ ; +00[ alors est majorée par son premier terme g()

Je ne sais pas si ce début est correcte mais en tous les cas je ne sais pas comment continuer.

[zygomatique]

Bonjour,
Voici un exercice dont je bloque sur la dernière question. Merci si quelqu'un peut bien m'aider.

Partie A:
On note f la fonction définie sur [0 ; + 00[ par f(x) = x -
1) Déterminer la limite de f en +00
J'ai trouvé +00
2)Etudier le sens de variations de f
f est strictement croissante sur [0 ; +00[
3) a) En déduire que (E): f(x) = 0, possède une seule solution sur [0 ; 1], notée
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires
b) Donner une valeur approchée de à 0,001 près
D'après la calculatrice, à 0,001 près
Partie B:
On note g la fonction définie sur [0 ; +00[ par
1) Déterminer la limite de g en +00
J'ai trouvé 0
2) Calculer g'(x) et vérifier que
Je l'ai trouvé
3) Etudier les variations de g sur l'intervalle [0 ; +00[
g est strictement croissante sur [0 ; [ et strictement décroissante sur ] ; +00[

On considère la suite définie par:
4) Calculer les valeurs de la suite. On arrondira à 0,0001 près.

On ne nous demande pas de calculer mais je pense qu'on est obligé de le faire pour avoir
5) On admet que la suite est convergente. On note L sa limite.
Justifier que
C'est cette question qui me pose problème. Je ne sais pas comment faire.

Voici ce que j'ai commencé à faire mais ne me mène nul part:
Puisque est convergente et que alors
Comme et que g est croissante sur [0 ; , alors est minorée par son premier terme et comme g est décroissante sur [ ; +00[ alors est majorée par son premier terme g()

Je ne sais pas si ce début est correcte mais en tous les cas je ne sais pas comment continuer.

salut

peut-être est-ce u3 et pas u_4 (faute d'énoncé) ....

comme tu l'as dit :

si u_n --> L alors u_{n + 1} --> L or u_{n + 1} = g(u_n)

donc g(L) = L <=> .... <=> f(L) = 0 <=> L = a

....

[Soussou]

Merci pour ta réponse.
C'était finalement tout bête.

[Soussou]

Bonjour,

Je reviens à la question. Finalement ce n'est pas tout bête. J'ai cru avoir compris mais je me rends compte que non.
Si je reprends le raisonnement:
Puisque Lim () = L alors Lim () = L (car est convergente vers L).
Comme = g() alors L = g(L)
Ensuite je ne comprends pas pourquoi on mets g(L) = 0 --> L= ?
Pour moi, comme il existe une unique solution telle que g() = 0 alors:
g(L) = L équivaut à g(L) - L = 0 = g()
et de là je ne voit pas comment L = ???

[Soussou]

Désolée, j'ai confondu les deux fonctions f et g.
On a donc:
f(x) = x-
f(L) = L- =
g(x) =
L = g(L) =
L-g(L) = 0 <==> L - = 0
En mettant au même dénominateur on trouve:
= 0 <==> = 0 <==> = 0 <==> f(L) = 0 (car >0)
Et comme il existe une unique solution telle que f() = 0 alors L=