Fonctions éco et inéquations

[lety59]

Bonjour à tous! Voila en fait j'ai un dm pour lundi et je l'ai fait (normal me direz vous). Mais j'aimerais juste avoir une petite correction, merci d'avance ^^

Enoncé :

Pour un producteur, le cout total de production pour une variété de fruits est de la forme :
f(x)=0.01x² + 0.4x + 24
où x est le nombre de kg produits entre 0 et 200kg et f(x) est exprimé en euros. Il vend chaque kg de fruits 1.5€, mais vend toute sa production.

a) Montrer que la fonction cout est croissante sur [0;200]
b) Résoudre f(x) = 120
Donner une interprétation concrète de la solution.
c)Justifier que le bénéfice B(x), en fonction du nombre de kg produits et vendus, s'exprime par :
B(x)=-0.01²+1.1x-24
Déterminer pour quelles quantités produites le producteur réalise un bénéfice, c'est à dire B(x)>ou= à 0

Mes réponses :

a) je sais pas trop quelle méthode choisir donc j'ai fais comme ceci :

f(x) = 0.01x²+0.4x+24
Polynome dérivable sur R
pour faciliter l'étude de la variation de la fonction cout nous allons utiliser les propriétés de la dérivée

f'(x)=0.02x+0.4

Soit x1 et x2 deux réels compris dans l'intervalle [0;200]
x1=1
x2=100
f'(x1)=f'(1)=0.42
donc f'(1)>0
f'(x2)=f'(100)=0.02*100+0.4=2.4
donc f'(100)>0

Selon le théorème si f est une fonction derivable sur l'intevalle demandé et si f'(x) > 0 sur cet intervalle alors f est croissante sur l'intervalle

Donc f(x) est croissante [0;200] selon ce théoréme

b) F(x) = 120

0.01x²+0.4x+24=120
0.01x²+0.4x-96=0

Discriminant = 0.4²-4*0.01*(-96)=4
discriminant>0 donc deux solutions :

X1= (-0.4-V4)/0.02 = -120
X2= 1.6/0.02=80

Donc S= {-120;80}

Ce qui signifie que pour 80 kg de fruits produits le producteur dépensera un cout total de production qui s'éléve à 120 €

C)Recettes des ventes = g(x) = 1.5x
x=le nombre de kg vendus
le coefficient directeur est de 1.5 car le producteur vend chaque kilos de fruit 1.5 €
recettes des ventes - cout total de production = bénéfices donc

B(x) = 1.5 x - 0.01x² - 0.4x - 24 = -0.01x²+1.1x-24

B(x)>0 ssi 0.01x²+1.1x-24 >0
Discriminant=1.1²-4*(-0.01)*(-24)=0.25
X1=(-1.1+V0.25)/-0.02 = 0.6/0.02 = 30
x2 = ((-1.1) - V0.25)/-0.02= 1.6/0.02 = 80

S= {30;80}

30 80
____________

- + -

pr que le producteur réalise un bénéfice il faudra produire et vendre entre 30 et 80 kg de fruits


VOILA!! Merci pour ceux qui me corrigeront!! bonne soirée!

[Quidam]

a) je sais pas trop quelle méthode choisir donc j'ai fais comme ceci :

f(x) = 0.01x²+0.4x+24
Polynome dérivable sur R
pour faciliter l'étude de la variation de la fonction cout nous allons utiliser les propriétés de la dérivée

f'(x)=0.02x+0.4

Soit x1 et x2 deux réels compris dans l'intervalle [0;200]
x1=1
x2=100
f'(x1)=f'(1)=0.42
donc f'(1)>0
f'(x2)=f'(100)=0.02*100+0.4=2.4
donc f'(100)>0

Selon le théorème si f est une fonction derivable sur l'intevalle demandé et si f'(x) > 0 sur cet intervalle alors f est croissante sur l'intervalle

Donc f(x) est croissante [0;200] selon ce théoréme

Ben non ! Tu viens de démontrer que f(x) est croissante en 1 et en 100, en calculant la dérivée de f en 1 et en 100. Tu n'as absolument pas démontré que f est croissante sur [0,200] !

On te demande de montrer que f' est positive ou nulle sur tout cet intervalle ! Cherche donc à quelle condition la dérivée est positive !

f'(x)=0.02x+0.4
f(x) > 0 se traduit par 0.02x+0.4 >0, soit 0.02x > -0.4, soit x > -0.4/0.02 ou
x > -20
Comme cette condition est vérifiée pour tout x de l'intervalle [0,200], f' est positive sur tout cet intervalle et la fonction f est donc croissante sur cet intervalle !

Le reste est correct !

[lety59]

Merci pour Votre réctification, je peux le faire a la place en utilisant
f'(0) et f'(200) non ?

En fait votre demonstration montre quela fonction f sera positive pour tout x supérieur a -20? et ainsi comme nous nous trouvons dans l'intervalle [0;200] f est forcément positive ?

Merci

[Quidam]

Merci pour Votre réctification, je peux le faire a la place en utilisant
f'(0) et f'(200) non ?

Non ! Si tu refais la même chose, tu prouveras que f' est positive en 0 et en 200 seulement, mais tu ne prouveras pas qu'elle est positive partout dans l'intervalle [0,200]

En fait votre demonstration montre quela fonction f sera positive pour tout x supérieur a -20? et ainsi comme nous nous trouvons dans l'intervalle [0;200] f est forcément positive ?

Oui !