Famile génératrice

[juju78]

Bonjour, je dois dire si cette famille est génératrice ou non:

S= { (1, -1) ; (-1, 1) ; (0, 2) }

J'ai donc posé le systeme suivant

x =a - b

y= -a + b + 2c

Mais après comment montrer que cette famille est generatrice ou pas?

[Huppasacee]

Peux tu trouver 1 ou plusieurs valeurs de a, b et c qui résolvent ce système pour x et y donnés ?

quelles sont les conditions pour qu'une famille soit génératrice ?

dans le plan , de combien de vecteurs est formée une famille génératrice minimale ?

les 2 premiers vecteurs forment-ils une famille génératrice ? pourquoi ?

et le premier et le troisième ?
et le deuxième et le troisième ?
que peut on en conclure pour les 3 vecteurs ?

[juju78]

Mes reponses sont en gras

Peux tu trouver 1 ou plusieurs valeurs de a, b et c qui résolvent ce système pour x et y donnés ?

euh je sai pas pour ça je dois le résoudre ?

quelles sont les conditions pour qu'une famille soit génératrice ?

Une famille génératrice et telle que tout vecteur de R² est une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille (elle doit donc etre non colinéaire)

dans le plan , de combien de vecteurs est formée une famille génératrice minimale ?

Ici on est dans R², et on a 3 vecteurs, or une famille qui a plus de veceur que la dimension de l'espace vectoriel peut etre generatrice
Il faut qu'elle est au moins le meme nombre de vecteur que la dimension de l'espace vectoriel


les 2 premiers vecteurs forment-ils une famille génératrice ? pourquoi ?
Les deux premiers vecteurs forment une famille génératrice car ils sont colinéaires

et le premier et le troisième ? Le premier et le troisieme ne forment pas une famille génératrice et le deuxième et le troisième ? le deuxieme et le troisieme non plus
que peut on en conclure pour les 3 vecteurs ? Par cntre la je ne vois pas quoi conclure au vue des données que j'ai dis ci dessus ?

[Florélianne]

Bonjour,

je dois dire si cette famille est génératrice ou non:

S= { (1, -1) ; (-1, 1) ; (0, 2) }

J'ai donc posé le système suivant

x =a - b
y= -a + b + 2c

Mais après comment montrer que cette famille est génératrice ou pas?

1. génératrice, mais génératrice de quoi ? de l'espace vectoriel de dimension 2 sans doute ?
2. dans ce cas tu pars en disant,u1(1 ; -1) ; u2(-1 ; 1) ; u3(0 ; 2); soit un vecteur V (x ; y) quelconque de l'espace, existe-t-il trois nombres réels a, b, c tel que :

V = au1 + bu2 + cu2

• a-b=x
• -a+b+2c=y

c'est bien le système que tu as trouvé !
comme ton espace est de dimension 2 (2 coordonnées) et que tu as 3 vecteurs, il est évident que ce système ne peut avoir une solution unique !
deux équations du premier degré à 3 inconnues !
c'est ou aucune solution où une infinité...
ici tu vois que la deuxième se ramène à -x+3c =y
donc 3c=x+y
tu as donc :

• a=x+b
• c=(x+y)/3

la solution pour c est unique par contre tu as autant de valeurs pour a que de valeurs de b dont la plus simple b=0
tu obtiens donc : V = xu1 + 0u2 +(x+y)/3 u3

Quel que soit le vecteur de l'espace on peut l'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2, u3
Donc S est bien une famille génératrice mais comme elle n'est pas libre ce n'est pas une base.
Très cordialement

[Florélianne]

toutes mes excuses, je n'aime pas marcher sur les pieds des autres... mes rédactions sont longues et il se passe bien des choses pendant...

[juju78]

d'accord merci !

Et aussi, sans resoudre par le calcul , faut faire comment ? Huppasacee avait commencé a expliqué le raisonnement mais je ne savais pas comment conclure ?:


les 2 premiers vecteurs forment-ils une famille génératrice ? pourquoi ?
Les deux premiers vecteurs forment une famille génératrice car ils sont colinéaires

et le premier et le troisième ? Le premier et le troisieme ne forment pas une famille génératrice et le deuxième et le troisième ? le deuxieme et le troisieme non plus
que peut on en conclure pour les 3 vecteurs ? Par cntre la je ne vois pas quoi conclure au vue des données que j'ai dis ci dessus ?

[Huppasacee]

2 vecteurs colinéaires ne peuvent pas former une famille génératrice, c'est le contraire

en effet , si tu prends les 2 premiers vecteurs , comment ferais tu pour obtenir le vecteur ( 1;0)?

avec 2 vecteurs non colinéaires , et ,on former n'importe quel vecteur , cela se vérifie géométriquement : on prolonge AB et , à partir de D , on trace la parallèle à (AC), on trouve tout de suite les 2 vecteur et

cela serait impossible si et étaient colinéaires et D extérieur à (AB)

[juju78]

S= { (1, -1) ; (-1, 1) ; (0, 2) }


Mais les deux premiers vecteurs etant colinéaires, la famille nest alors pas génératrice?

[Huppasacee]

si , si tu prends le deuxième et le troisième , ou le premier et le troisième , ils forment une famille génératrice
ce qu'il y a c'est que l'un des 2 vecteurs ( 1er ou deuxième) est en trop, ce qui n'est pas génant

[juju78]

Donc en gros il suffit qu'un vecteur ne soit pas colinéaire avec un autre pour que toute la famille soit génératrice ?

si on avait eu S={(1, -1),(0, 2),(-1, 1) } alors c'est une famille génératrice aussi ? l'ordre ne change rien?

[Huppasacee]

L'ordre ne change rien.

[juju78]

Et si les 3 vecteurs, quelque soit l'ordre, sont tous les 3 non colinéaires entre eux alors la famille est génératrice ?

[Huppasacee]

Du moment que 2 d'entre eux ne sont pas colinéaires , la famille est génératrice

dans le plan , bien sûr !

[juju78]

D'accord merci

Voyons si j'ai bien compris:
On considre des familles de vecteurs de R^3, reconnaitre les familles generatrices de R3

S=(1,0,1);(1,1,0);(0,1,1) est une famille génératrice
S2=(-1,0,2);(1,3,1);(0,1,-1) est une famille génératrice

S3=(1,2,-1);(1,0,1);(-1,2,-3) est geneatrice ? 'pourtant par le calcul je ne trouve pas ça

[Huppasacee]

Ici , tu es dans R^3, donc il faut 3 vecteurs minimum pour que la famille soit génératrice
comment as tu décidé que la famille n'est pas génératrice ?
par le discriminant ?

[juju78]

Pour S3=(1,2,-1);(1,0,1);(-1,2,-3)

j'ai posé

x=a+b-c
y=2a+2c
z=-a+b-3c

x-z =2a+2c
y=2a+2c

x-z-y = 0

donc la famille n'est pas génératrice ?

pourtant au vu des informations, aucun vecteur n'est colineaire ,elle devrait donc l'etre ?

[juju78]

non? : (

[Huppasacee]

oui , c'est exact , elle n'est pas génératrice
si u,v et w sont les 3 vecteurs , on voit que w = u - 2v
fais plutôt :
S3=(1,2,-1);(1,0,1);(-1,2,-3)


existe-t-il a et b tels que
a+b=-1
2a+0=2
-a+b=-3
on résout le système composé des 2 premières lignes, et on regarde si les valeurs trouvées vérifient la troisième

dans le cas où a et b existent , alors les 3 vecteurs sont coplanaires ( ou liés)
donc ce n'est pas une famille génératrice

x=a+b-c
y=2a+2c
z=-a+b-3c

x-z =2a+2c
y=2a+2c

x-z-y = 0

à quoi es tu arrivé par ce calcul?
c'est que si on essaie de calculer un vecteur quelconque (x;y;z) de l'espace , il faut que ses coordonnées vérifient
x-y-z = 0 , ( si tes calculs sont exacts )
donc le vecteur n'est pas quelconque
la famille n'est donc pas génératrice

[juju78]

oui , c'est exact , elle n'est pas génératrice
si u,v et w sont les 3 vecteurs , on voit que w = u - 2v

C'est dur de voir ça comme ça, il vaut donc mieux faire le calcul a chaque fois non pr verifier?

[Florélianne]

Bonjour,
Récapitulons!
Si on a un espace vectoriel de dimension n:(n=2 ou n=3 pour le moment...)

• une famille génératrice doit avoir au moins n vecteurs (mais ce n'est pas suffisant pour qu'elle le soit !)
• une famille de n vecteurs non colinéaires est toujours génératrice
• une famille de plus de n vecteurs est toujours colinéaire

1. Voilà, c'est ce qu'on retrouve par le calcul comme tu avais débuté. Comme tu avais une famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 2 (deux coordonnées) , c'était une famille de vecteurs colinéaires, voila pourquoi tu avais le choix pour les valeurs de a et de b; en choisissant b=0 , on n'utilisait plus le deuxième vecteur , la nouvelle famille n'avait plus que 2 vecteurs et elle était génératrice (et libre)
2. ensuite tu avais 3 coordonnées, la dimension était 3 ; une famille génératrice devait comprendre au moins 3 vecteurs. Comme tes familles n'en avaient que 3, si les vecteurs étaient colinéaires, alors tu étais sur que la famille n'était pas génératrice : tu pouvais écrire un des vecteurs en fonction des deux autres, donc il n'apportait aucun renseignement de plus que la famille des deux autres... et une famille de deux vecteurs ne peut générer qu'un plan (dimension 2) pas l'espace (dimension 3): la 3D des jeux vidéo par rapport aux vieux jeux en 2D (plats !)
3. les familles de vecteurs te donnent les directions dans lesquelles on se repère... pour se situer dans un plan 2 renseignements suffisent (bataille navale) mais dans l'espace on en a besoin d'un troisième ... qui ne soit pas dans le plan ! il faut aussi se situer en hauteur ! (ou en profondeur...)
4. Tu aimes mieux calculer que raisonner (c'est tout à fait ton droit !) tu fais alors de la géométrie analytique... tu analyse les situations par résolution d'équations, c'est tout a fait correct quand on sait en tirer les bonnes conclusions géométriques. Je m'étais contentée de terminer ta méthode pour montrer que la famille était bien génératrice (mais surnuméraire)

En espérant avoir bien récapitulé tout ce que tu as vu hier... tu étais en de bonnes mains, je pense que tout doit être clair !
Très cordialement