Exercice division euclidienne

[Nicodu13]

Bonjour,
J'ai du mal avec 2 exo de Spé Maths.

1:
b est un entier naturel non nul; En divisant 250 par b il reste 7, En divisant 500 par b il reste 5.
Identifier b.

Alors moi j'ai fais un systeme et je me retrouve avec 252=b(q-q'). Je trouve 9 en faisant des testes mais je me demande si il n'y a pas un technique parceque en controle je n'ai pas le temps pour procéder par test.


2:
a et b deux entiers naturels avec a>b. Dans la division euclidienne de a par b le quotient est q et le reste r. On sait que a+b=86 et que r=9
Déterminer les couples (a;b) possibles;

Alors la je suis bloqué j'ai essayé de manipuler la formule a=bq+9 mais ca ne me mene nulpart.


Merci d'avance pour vos réponses

[John Difool]

1) Je crois pas qu'il y ait besoin de faire de tests ?

Ton système peut s'écrire :

500 = 2k*b + 14
500 = b*k' + 5

--> 9 = b*(k'-2k) c'est à dire b divise 9

or tu sais que b est plus grand que 7 puisque c'est le reste de la division euclidienne de 250 par b. Le seul entier qui divise 9 et qui est plus grand que 7 est 9 donc b=9.

2) a = b*q + 9
a+b = 86

par substitution : b*(q+1) = 77

--> que peux-tu en conclure ? et du coup pour a ?

[Nicodu13]

2) b(q+1)=77 -> b est un diviseur de 77
77= 77*1 ; 77= 11*7 (or a>b et la division de 85 par 1 a un reste r=0)
Donc (b=11 ou b=7)
a+b=86 -> a=86-11=75
Or 75=6*11+9
Donc b=11 et a=75

Je ne suis pas du tout sure de la rédaction...

Merci beaucoup pour l'aide !

[John Difool]

Oui c'est bien ça, b=11, sauf que tu n'as pas traîté le cas b = 7 qui donne a = 79 mais comme et non pas 9 , donc ça ne marche pas.

Tu as traité les cas b=77 et b=1 correctement sinon (détaille peut être un peu plus si c'est un D.M. )