Exercice démonstration

[cachender]

Bonsoir !
Mon prof m'as donné un exercice qu'il a dit qu'il allait rammasser et il se trouve que je n'est aucune idée pour réésoudre cette exercice

1) déterminer un polynôme P de degrès 3 vérifiant pour tout x :
P(x+1) - P(x) = x²

2) En déduire les égalités :

1²+2²+....+n² = P(n+1)-P(1)
puis 1²+2²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

où n désigne un entier naturel non nul

Si vous pouviez me donné quelques idée et quelque explications je vous en serait très reconnaissant
cordialement,

[gol_di_grosso]

Bonsoir !
Mon prof m'as donné un exercice qu'il a dit qu'il allait rammasser et il se trouve que je n'est aucune idée pour réésoudre cette exercice

1) déterminer un polynôme P de degrès 3 vérifiant pour tout x :
P(x+1) - P(x) = x²

2) En déduire les égalités :

1²+2²+....+n² = P(n+1)-P(1)
puis 1²+2²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

où n désigne un entier naturel non nul

Si vous pouviez me donné quelques idée et quelque explications je vous en serait très reconnaissant
cordialement,

pour le un
P(x) = ax^3+b^2+cx+d
et tu fais ¨P(x+1)-P(x) puis tu trouve a b c d pour pouvoir avoir x^2

[cachender]

ok merci beaucoup !

est-ce que quelqu'un aurait une idée pour le petit 2 ) ??

merci d'avance

cordialement ,

[gol_di_grosso]

déjà j'ai
a=1/3
b=-1/2
c=1/6
d on s'en fou 0 on va dire
P(X)=(x^3)/3-x²/2+x/6
bref pour la deux c'est bidon non ! :triste: :hum: :hum: :hum:
P(2)-P(1)=1²
P(3)-P(2)=2²
................
P(n)-P(n-1)=(n-1)²
P(n+1)-P(n)=n²

et quand tu ajoute tout ça
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+...+P(n)-P(n-1)+P(n+1)-P(n)=1²+2²+...+(n-1)²+n²
et ça ça se simplifie un peu en p(n+1)-P(1)=1²+...n²

[gol_di_grosso]

ensuite P(1) j'ai 0
donc P(n+1) ca doit faire dans les [n(n+1)(2n+1)]/6

[cachender]

pour la question un j'ai trouver
ax² +ax +a +bx+ b +c = x²

et je n'arrive pas a determiner ce que vaut a ; b ;c peut -être que je me suis tromper dans le résultat trouver

[gol_di_grosso]

P(x+1) c'est

[cachender]

oui donc P(x+1)= a ( x^3 + 3x² + 3x +1 ) + b (x² +2x +1)+ c (x +1) + d
P(x+1)=ax^3 +3ax²+3ax +a + bx² + 2bx +b +cx +c +d

als
P(x+1) - P(x) = ax^3 +3ax²+3ax +a + bx² + 2bx +b +cx +c +d -ax^3 - bx² -cx -d

et P(x+1) - P(x) = 3ax² + 3ax +a + 2bx +b +c = x²

[gol_di_grosso]

3a=1
3a-2b=0
c+b+a=0

[cachender]

3a = 1 donc a = 1/3
3a - 2b = 0 donc 2b = 1 donc b = 1/2
a+b+c = 0 donc c = -a -b donc c = -5/6

c'est ça non ?

[cachender]

donc la reponse serait p(x) = (1/3)x3 + (1/2)x² - 5/6x


je me trompe ??

[gol_di_grosso]

enfate c'est 3a+2b =0 donc comme j'ai mi plus haut b=-1/2 et c=1/6

[cachender]

ok donc P(x)= (1/3)x^3 - (1/2) x² +(1/6) x

ok merci maintenant je peux faire le 2) plus facilement
mais la 2eme partie du 2), je n'est pas très bien compris est-ce que tu pourrait m'exspliquer un peu plus clairement ?? :

ensuite P(1) j'ai 0
donc P(n+1) ca doit faire dans les [n(n+1)(2n+1)]/6

en tout cas encore un grand merci pour m'avoiri aider a résoudre ce probleme

[gol_di_grosso]

__________________________________________
P(2)-P(1)=1²
P(3)-P(2)=2²
................
P(n)-P(n-1)=(n-1)²
P(n+1)-P(n)=n²

et quand tu ajoute tout ça
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+...+P(n)-P(n-1)+P(n+1)-P(n)=1²+2²+...+(n-1)²+n²
et ça ça se simplifie en p(n+1)-P(1)=1²+...n²
__________________________________________

ca c'est bon alors

[cachender]

oui ca c'est bon
mais c'est pour avoir 1²+2²+......+n² = [n(n+1)(2n+1)] / 6

[cachender]

s'il vous plait est-ce que vous pourriez m'aider il ne me reste plus que cela a faire pour avoir clos mon dm j'aimerez que l'on mexplique comment on trouve :
1²+2²+......+n² = [n(n+1)(2n+1)] / 6


merci d'avance !! ^^

[cachender]

Alors quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[gol_di_grosso]

c'est P(n+1)-P(1) faut juste calculer

[cachender]

okmerci merci