Exercice arithmétique

[titine]

Bonjour.
Je cale, pourriez vous m'aider ?

u et v sont des entiers positifs premiers entre eux et de parités différentes.
Il faut démontrer que 2uv , u²+v² et u²-v² sont premiers entre eux 2 à 2.

J'ai su faire, mais là je vois plus ...
Merci d'avance.

[titine]

Si'ils ne sont pas premiers entre eux alors il existe d différent de 1 qui divise toute combinaison linéaire de 2 d'entre eux.

Donc, si (2uv) et (u²+v²) ne sont pas premiers entre eux alors il existe d divisant (u-v)², c'est à dire d divise u-v. Et alors ...?

[titine]

D'accord.
Et comment montre t on que pgcd(u²-v²,2uv)=1 ?

[titine]

Soit d=pgcd(u²-v²,2uv) différent de 1.
D'après ce qui précède d ne divise pas u²+v². (u²-v² et u²+v² premiers entre eux)
Donc d ne divise pas u²+v²+u²-v²=2u².
Et d ne divise pas u²+v²-u²+v²=2v².
Donc d ne divise ni u ni v. Ce qui est absurde.

Est ce correct ?

[lapras]

salut,
j'ai essayé ceci.
Soit d = PGCD(u² - v²; 2uv) tel que d différent de 1.
alors d divise u² + 2uv + v² - 2v² soit d divise (u + v)² - 2v² équivaut à d divise u + v et d divise 2v , or u + v est impair car u et v ne sont pas de meme parité donc d est impair donc d divise v , or u et v sont premiers entre eux, si il existe d tel que d divise (u + v), alors d est forcément égal à 1, ce qui prouve que d = 1 donc que u² - v² est premier avec 2uv

je suis pas sur !

[BiZi]

salut,
d divise (u + v)² - 2v² équivaut à d divise u + v et d divise 2v

C'est faux! d divise a²+b² n'implique d divise a et d divise b: 5 divise 3²+4²=25 mais 5 ne divise ni 3² ni 4², et encore moins 3 et 4.

De plus, d divise a² n'implique pas d divise a: on a 9 divise 144 mais 9 ne divise pas 12. Pa contre, on a effectivement p divise a²p divise a pour p premier.

[lapras]

ok désolé pour l'erreur